電磁気学の問題が分からなくて困っています。

質問

電験に向けて電磁気学を勉強しているのですが、いまいち解き方がわからない問題があるので教えてください。

1.真空中に置かれている半径aの導体球に電化Qを与えたとき、導体球内外の電界の大きさEと導体球内外の電位Vを求めよ。

2．面積S,間隔dの平行平板電極間に電位差Vを与えたとき、以下を求めよ。ただし極板間には比誘電率εの誘電体が挿入されているものとする。
(1)電極間の電界の強さE,(2)電極に蓄えられる電荷量Q,(3)静電容量C,極板間に蓄えられている静電エネルギー

よろしくお願いします。

回答No.1

NemurinekoNya

こんばんはです。

大学の物理的な解き方になりますが、よろしいですか。

１　これは球の表面に電荷Qが与えられているという問題ですよね。
球の中心からの距離をｒ、そこでの電界をE、電位をVとすることにします。

0 < r < a
ガウスの法則より、
E = 0

a < r
ガウスの法則より
　(4πr^2)E = Q/ε0
　E = Q/(4πε0r^2)　　　　・・・　これに電荷ｑをかければクーロンの法則になりますよね

　E = -dV/dr　　　　　（１）
という関係があります。
ですから、
0 < r < a
E = 0より
　V = C　　　　（Cは定数です）　　　　　（２）

a < r
（１）式より
　-dV/dr = E = Q/(4πε0r^2)
　dV/dr = -Q/(4πε0r^2)
無限遠の電位Vをゼロとすると、
　V = ∫[∞,r](-Q/(4πε0r^2)dr = -Q/(4πε0)∫[∞,r](1/r^2)dr = Q/(4πε0r)　　（３）
ここで∫[∞,r]は∞からｒまでの定積分を表わします。

r = aでVは連続なので、（２）と（３）より
　C = Q/(4πε0a)

以上のことから
0 < r < a
　E = 0
　V = Q/(4πε0a)

r = a
　V = Q/(4πε0a)

a < r
　E = Q/(4πε0r^2)
　V = Q/(4πε0r)

となります。
なお、
r^2はｒの２乗、r^2 = r×rのことです。

２
（１）　E = V/d

（２）　電気容量C = εS/d
　Q = CV = (εS/d)・V

（３）　エネルギー = (1/2)QV = (1/2)・(εSV/d)・V = (1/2)・(εS/d)V^2

となります。