数I 二次関数

質問

放物線y=3x^2+2ax+8を、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると放物線y=3x^2+2(a-3)x-1となるように定数aの値を定めよ。

という問題です。
y=3x^2+2ax+8
=3(x+1/3a)^2-1/3a^2+8　となり、
この式をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると、
y=3(x+1/3a+1)^2-1/3a^2+6　となりました。

そして放物線y=3x^2+2(a-3)x-1を
上の式と同様にしようと思ったんですが、
完全平方にするところでつまづいてしまいました。

どなたか回答お願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

事前準備無しに、いきなり平行移動しましょう。
そのほうが楽です。

y = 3x^2 + 2ax + 8を、
x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると
y + 2 = 3(x-1)^2 + 2a(x-1) + 8
になります。
もうちょっと整理して、
y = 3x^2 - 6x + 1 + 2ax -2a + 8 - 2
= 3x^2 + (-6 +2a)x + (7 - 2a)　・・・（ア）

y = 3x^2 + 2(a-3)x - 1　・・・（イ）
アとイは常に等しくなければいけないので、（ア）と（イ）の各々の項の係数を比較すれば
3 = 3　→　（ａが何でも成り立つ）
-6 + 2a = 2(a - 3)　→（ａが何でも成り立つ）
7 - 2a = -1　→　ａ＝４

回答No.5

noname#47975

放物線y=3x^2+2ax+8を、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると放物線y=3x^2+2(a-3)x-1となるように定数aの値を定めよ。

放物線y = 3x^2 + 2ax + 8
x = 0を代入すると、y = 8です。
すなわち、(0,8)を通ります。

この点をｘ軸方向に1,y軸方向に-2だけ平行移動すると、(1,6)となり
これは放物線y = 3x^2 + 2(a-3)x -1上に来るはずです。
要するに(1,6)は、y = 3x^2 + 2(a-3)x - 1上に
こなければなりません。

以上により、6 = 3 + 2(a-3) - 1より、
a　=　5となります。

後は、２つの放物線の式にa = 5を代入して本当にそうなっているかを
確認してください。

回答No.4

YHU00444

一般に、y=f(x)のグラフをx方向にα、y方向にβ動かしたとき、グラフの式はy-β=f(x-α)∴y=f(x-α)+βと変化しますから、単にy=3x^2+2ax+8の式でx→x-1として切片を2減じてやったものがy=3x^2+2(a-3)x-1となれば良いわけです。
よって、3(x-1)^2+2a(x-1)+8-2=3x^2+2(a-3)x-1が成立するaについて調べればよく、その条件は簡単に出てきます。

※要は、最初からわざわざ平方完成する必要はどこにもない、ということです。

回答No.2

Mr_Holland

あなたのように、躓いているところまでを具体的に書いてくださると、回答が付けやすく思います。

＞この式をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動すると、
＞y=3(x+1/3a+1)^2-1/3a^2+6　となりました。

　ここの計算で間違ってしまったようですね。
　２次関数ｙ＝A(x-B)^2+C　のグラフを、ｘ方向に1、y方向に-2だけ平行移動すると、
　　ｙ＝Ａ(x-B-1)^2＋C-2
としなければなりません。
　つまり、定数項はそのまま移動量をプラスすればいいのですが、（　）の中のｘに関しては、マイナスしなければならないのです。
　したがって、ここの計算は、
　　ｙ＝3(x+1/3a－1)^2-1/3a^2+6
となります。

　さて、あなたも間違えられたように、ｘ方向とｙ方向で移動量に対して、プラスにしたり、マイナスにしたりで、混乱されることでしょう。
　しかし、平行移動に関して、もっと一般化された考え方があって、ｘ方向に＋ｐ、ｙ方向に＋ｑだけ平行移動させる場合は、どんな場合でも、ｘとｙを
　　ｘ→ｘ－ｐ、ｙ→ｙ－ｑ
と置き換えることで平行移動ができてしまいます。
　試しに、ｙ＝Ａ(ｘ－Ｂ)^2＋Ｃの２次関数で平行移動させて見ましょう。
　　ｙ＝Ａ(ｘ－Ｂ)^2＋Ｃ
　⇒ｙ－ｑ＝Ａ{(ｘ－ｐ）－Ｂ}^2＋Ｃ
　∴ｙ＝Ａ（ｘ－ｐ－Ｂ)^2＋Ｃ＋ｑ

　このように、ｘはマイナス、ｙは右辺でプラスという上の同じ形が現れます。
　２次関数の場合は、形式的にこのように覚えてもらっても構いませんが、どんなグラフでも平行移動のときは、
　　　　ｘ→ｘ－ｐ、ｙ→ｙ－ｑ
と書くことを覚えておくと、後々、役に立つことと思います。

回答No.1

Quattro99

平行移動した点を(p,q)とすると、(p,q)はy=3x^2+2(a-3)x-1を満たし、平行移動する前の点(p-1,q+2)はy=3x^2+2ax+8を満たします。代入して係数を比べればaが求まるはずです。

一般にy=f(x)をx軸方向にt、y軸方向にu移動すると、y-u=f(x-t)になります（移動する前の点がy=f(x)を満たすから）。