方程式

質問

Ｃｏｓ－１ｘ＝Ｓｉｎ－１(1/3)＋Ｓｉｎ－１(7/9)

※Ｃｏｓ－１、Ｓｉｎ－１はそれぞれＣｏｓ、Ｓｉｎ
　の逆関数のことです。
答えしかなくて困ってるので誰かこの方程式の
途中式お願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

逆三角関数は多価関数ですが，通常の定義では
(1)　　-π/2 ＜ Sin^(-1) y ≦ π/2
(2)　　0≦ Cos^(-1) y ＜ π
と決めています(主値を取った，といいます)．

さて，
(3)　　α = Sin^(-1) (1/3)
(4)　　β = Sin^(-1) (7/9)
とおきます．
(1)(2)からわかるように，αもβも０から π/2 の間にあります．

元の式
(5)　　Cos^(-1) x = Sin^(-1) (1/3) + Sin^(-1) (7/9) = α + β
の両辺の cos をとります．
cos{Cos^(-1) x} = x ですから．
(6)　　x = cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ
になります．
当然
(7)　　sinα = 1/3　　　sinβ = 7/9
です．また，
(8)　　cos^2 α = 1 - sin^2 α = 8/9
(9)　　cos^2 β = 1 - sin^2 β = 32/81
ですが，上に述べたα，βの範囲から
(10)　　cosα = 2√2 / 3
(11)　　cosβ = 4√2 / 9
がすぐわかります(平方根が負の方ではないということ)．
あとは(6)に代入して
(12)　　x = 1/3

お礼

最高に詳しい解説ありがとうございました。
たぶん私には何時間考えても浮かばない手ですね。
ありがとうございました。