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方程式
Ｃｏｓ－１ｘ＝Ｓｉｎ－１(1/3)＋Ｓｉｎ－１(7/9) ※Ｃｏｓ－１、Ｓｉｎ－１はそれぞれＣｏｓ、Ｓｉｎ の逆関数のことです。 答えしかなくて困ってるので誰かこの方程式の 途中式お願いします。
- lucifer-angel
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逆三角関数は多価関数ですが，通常の定義では (1) -π/2 ＜ Sin^(-1) y ≦ π/2 (2) 0≦ Cos^(-1) y ＜ π と決めています(主値を取った，といいます)． さて， (3) α = Sin^(-1) (1/3) (4) β = Sin^(-1) (7/9) とおきます． (1)(2)からわかるように，αもβも０から π/2 の間にあります． 元の式 (5) Cos^(-1) x = Sin^(-1) (1/3) + Sin^(-1) (7/9) = α + β の両辺の cos をとります． cos{Cos^(-1) x} = x ですから． (6) x = cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ になります． 当然 (7) sinα = 1/3 sinβ = 7/9 です．また， (8) cos^2 α = 1 - sin^2 α = 8/9 (9) cos^2 β = 1 - sin^2 β = 32/81 ですが，上に述べたα，βの範囲から (10) cosα = 2√2 / 3 (11) cosβ = 4√2 / 9 がすぐわかります(平方根が負の方ではないということ)． あとは(6)に代入して (12) x = 1/3
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お礼
最高に詳しい解説ありがとうございました。 たぶん私には何時間考えても浮かばない手ですね。 ありがとうございました。