三角方程式

質問

方程式sin(x)-cos(x)=4sin(x)cos^2(x)を解け、
なのですが、
方向性が見つけられません。
sin(x)-cos(x)=t
でうまくいくかと思ったのですが、
cos^2(x)が邪魔です。
よろしくお願いします。

回答No.7

jamf0421 · ベストアンサー

> t=-1,1±√2になりますが、
> tanx=1±√2はどのように考えればよいのでしょうか？

回答がちょっと不親切でしたね。t^2-2t-1=0はNo1さんの式で対応させれば
sinx(sinx-cosx)=cosx(sinx+cosx)
の部分に対応する角度ですね。この式を整理すれば
(cosx)^2-(sinx)^2=-2sinxcosx
になりますね。
これは
cos2x=-sin2x
ですから
tan2x=-1
に対応します。答えの書き方はいろいろありますが、たとえば
2x=-π/4+nπ or -3π/4+nπ
ですから
x=-π/8+nπ/2 or -3π/8+nπ/2
となります。

回答No.11

arrysthmia

「cos^2(x) が邪魔」という見方は、上手くありません。
sin(x) cos^2(x) が邪魔…　と考えると、方向性が見えてきます。
この項が３次だから扱い難いのであって、三角関数と２次式なら
相性が良いものです。

さて、どうやって３次項を無くするか？
３倍角公式を使って sin(3x) に換える…　というのが No.3 (と No.5 No.6)。
両辺を sin(x) で割れば tan(x) の２次式になる…　というのが No.4。
逆に、両辺に sin(x) を掛けて、倍角公式を２回使っても良いでしょう。
sin(x) - cos(x) 替わりに sin(x) + cos(x) に着目すれば、１次×２次に
因数分解できる…　というのが No.1 No.8。

三角関数は豊富な公式(関数等式)を持つので、式変形の方法は多彩ですが、
方程式の次数を下げよう…　という方向は共通です。

お礼

回答有難うございました。
参考にさせていただきました。

回答No.10

jamf0421

N07です。すみませんでした。
>tan2x=-1
>に対応します。答えの書き方はいろいろありますが、たとえば
>2x=-π/4+nπ or -3π/4+nπ
>ですから
↑
ここが早とちりでした。tan2x＝-1のところを第三象限と第四象限のところと勘違いしました。実は第二象限と第四象限ですから
2x=-π/4+nx
のみになります。
よって　tanx=1±√2に対応する解については
x=-π/8+nx/2
だけです。

お礼

御礼が遅れ大変失礼いたしました。
何度も丁寧に解説いただき、大変参考になりました。
有難うございました。

回答No.9

info22

#5です。
補足がないので参考までに正しいxの解を書いておきます。
（他の方の解答のxが間違っているものが含まれているようです。
　正しい解は元の三角方程式に代入して成立しなければ解と言えません）

A#5で導いた
sin(3x)=-cos(x)
を満たすxは
x=(3π/8)+ (nπ/2) , (3π/4)+nπ
ここで,nは整数(0,±1,±2, ... )です。

↑の結果は#6さんのxの答と一致していてます（つまり正解です。）。
（A#5でアドバイスした単位円を使う方が簡単に解けると思いますが。）

お礼

ご指摘有難うございました。

回答No.8

mister_moonlight

別解の2　　ｗ

＞sin(x)-cos(x)=tでうまくいくかと思ったのですが、

その方針でも、ちょつと工夫すれば解けるよ。

sin(x)-cos(x)＝t、sin(x)＋cos(x)＝mとすると、t＾2＋m＾2＝2　‥‥(1).
又、sin(x)＝（t+m）/2、cos(x)＝（t-m）/2　‥‥(2)
(1)と(2)を条件式に代入すると、2t＝t*（t＾2＋m＾2）＝（t+m）*（t-m）＾2.
これを展開して、整理すると、m*（t＾2＋2mt-m＾2）＝0.

t＾2＋2mt-m＾2＝0の時は、これに(1)と(2)を代入して戻してやると、sin(2x)＋cos(2x)＝0となる。

＞両辺をsinxで割れば

sinx≠0である事を確認する必要がある。

回答No.6

Mr_Holland

＃３さんと同様の同値変形で、
　　sin(3x)＝-cos(x)
　⇔sin(3x)＝-sin(π/2-x)
　⇔sin(3x)＝sin(x-π/2)
が得られます。

　ここで、ｘの範囲についての条件がなければ、ｎを整数として、上の三角方程式から、次の式が導かれます。

　　3x＝x-π/2+2nπ　または　3x＝π-(x-π/2)+2nπ
　∴x＝-π/4+nπ　　または　x＝3π/8+nπ/2

＞t=-1,1±√2になりますが、
＞tanx=1±√2はどのように考えればよいのでしょうか？

　tanx=-1　は、上の　x＝-π/4+nπ　に対応します。
　tanx=1±√2　は、上の　x＝3π/8+nπ/2　に対応します。

お礼

御礼が遅くなり、有難うございました。
大変参考になりました。

回答No.5

info22

xの範囲の指定は無いですか？

ヒント）
4sin(x)cos^2(x)=2sin(x){1+cos(2x)}
=2sin(x)+2sin(x)cos(2x)
=2sin(x)+sin(3x)-sin(x)
=sin(x)+sin(3x)
なので
-cos(x)=sin (3x)
これを満たすxの一次方程式を
単位円を使って立ててxを求めるだけです。
簡単にxが出てきますよ。

質問する場合は
やった自力解答の計算を補足に書いた上で、分からない箇所だけ
きいて下さい。

お礼

ご指摘有難うございました。

回答No.4

jamf0421

両辺をsinxで割れば
1-1/tanx=4(cosx)^2...(1)
一方(sinx)^2+(cosx)^2=1より1+(tanx)^2=1/(cos)^2となり、
1/{1+(tanx)^2}=(cosx)^2...(2)
ですから、これを(1)の右辺に代入しtanx=tについて整理すれば
t＾3-t＾2-3t-1=0...(3)
となります。この式は
（t+1)(t^2-2t-1)=0...(4)
と因数分解できます。これよりtanxの値がでます。No1さんの最初のやり方で最後の式がsinx+cosx=0またはsinx(sinx-cosx)=cosx((sinx+cosx)ですから答えは当然同じになります。

補足

回答有難うございます。
t=-1,1±√2になりますが、
tanx=1±√2はどのように考えればよいのでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight

ついでに、別解を示しておく。

4*sin(x)*cos^2(x)＝2*sin(2x)*cos(x)＝sin(3x)＋sin(x)であるから、sin(3x)＋sin(x)＝sin(x)-cos(x)　、つまり、sin(3x)＋cos(x)　＝sin(3x)＋sin(π/2＋x)＝0　を解くと良い。

でも、こっちの変形のほうが思いつき難いかな？

回答No.2

mister_moonlight

例によって書き込みミス。

（誤）sin(x){1-2cos^2(x)}＝cos(x){2sin(x)＋1}
（正）sin(x){1-2cos^2(x)}＝cos(x){2*sin(x)*cos(x)＋1}

こういう時は、係数に注目する事。つまり、4＝2＋2　って事。

回答No.1

mister_moonlight

＞sin(x)-cos(x)=4sin(x)cos^2(x)

{sin(x)-2sin(x)cos^2(x)}＝2sin(x)cos^2(x)＋cos(x)
sin(x){1-2cos^2(x)}＝cos(x){2sin(x)＋1}
sin(x){sin＾2(x)-cos^2(x)}＝cos(x){sin(x)＋cos(x)}＾2
sin(x){sin(x)＋cos(x)}{sin(x)-cos(x)}＝cos(x){sin(x)＋cos(x)}＾2

ここまでくれば、あとは出来るだろう。