古典的波動方程式に関する式変形

質問

ある微分方程式の一般解である以下の式
x(t)=c1cosωt+c2sinωt
を次のような等価な形式で表す。
x(t)=Asin(ωt+φ)
x(t)=Bcos(ωt+ψ)
この時、x(t)に対する3つの式が全て等価であることを示し、
AとφおよびBとψのそれぞれをc1とc2で表わす式を導け。

という問題があります。
x(t)=Asin(ωt+φ)
sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ
sin(ωt+φ)=sinωtcosφ+ cosωtsinφ

x(t)=Bcos(ωt+ψ)
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
cos(ωt+ψ)=cosωtcosψ- sinωtsinψ
という関係を用いればよいのでしょうが、AとBの取り扱いがわからりません。どのように考えたらよいのでしょうか？

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>x(t)=c1cosωt+c2sinωt

加法定理を利用するために、
　　x(t)=c1cosωt+c2sinω= sqrt(c1^2+c2^2)[c1/sqrt(c1^2+c2^2)}cosωt+{c2/sqrt(c1^2+c2^2)}sinωt]
と変形するのが常套手段です。

　　{c1/sqrt(c1^2+c2^2)}^2 + {c2/sqrt(c1^2+c2^2)}^2 = 1
が成立するので、{c1/sqrt(c1^2+c2^2)}, {c2/sqrt(c1^2+c2^2)} の一方を sinφとすれば、他方が cosφに相当するのです。

あとは、加法定理で処理してみてください。

お礼

178tall さま

御礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
ありがとうございました。
よく理解できました。