波動方程式の解→横波

質問

真空中を伝わる電磁波、E=(E_x,E_y,E_z), H=(H_x,H_y,H_z)には、
∇×E=-μ∂H/∂t, ∇・E=0, ∇×H=ε∂E/∂t, ∇・H=0
が成り立っている。

(∇^2-εμ∂^2/∂t^2)E=0 の３次元の一般解を求め、波が縦波であるか証明せよ、最後にこの結果から言える物理的現象を記述せよ。

初期条件は書かれていないので、一般解は偏微分方程式を変数分離法で解くとそのまま文字が残って、
E=((A_1)cosω′t+(A_2)sinω′t)×((B_1)cos(ω_1)x+(B_2)sin(ω_1)x)×((C_1)cos(ω_2)y+(C_2)sin(ω_2)y)×((D_1)cos(ω_3)z+(D_2)sin(ω_3)z)

となりますが、ここから横波であることを証明するにはどうすればいいのでしょうか？
それとも、指数形で答えを出した方が考えやすかったですかね？

また、最後の物理現象ですが、「電場と磁場が互いに直交する」ということだと思ったんですが、この解から言えますか？

教えてください。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

まず修正です。

>v: 波の速度ベクトル。

vはスカラーでした(^^;

E ですが、これは特定方向に任意形状のベクトル場が特定方向に向かう解が知られています。
私の示した解が波動方程式を満たすことはお分かりになると思います。

議論は横波かどうかという話でしたので、このような波に進行方向の変化成分が無いことを示しました。

より一般的な形状の波に対して、横波か縦波か示す方法は知りません。
多分もっと微分的な取り扱いが必要です。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>波動を　E = A(e・r - vt)

式の記号の解説を忘れてました。

r: 位置ベクトル。e: 波の進行方向を表す単位ベクトル。
v: 波の速度ベクトル。t: 時刻。E: 電場

補足

E = A(e・r - vt)

ということは、変数分離で求めた一般解をこの形で表せれば、証明は出来るということですね。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

波動を　E = A(e・r - vt)

とすると、電磁波だから電場の発散は 0 なので

div E = e・grad(A) = 0

だから関数A は進行方向に対して変化が無い電場⇒電場の変化は進行方向に垂直⇒横波