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三角方程式と三角不等式について
趣味で数学の問題を解いているのですが、以下の三角方程式・三角不等式がどうしても解りません、どなたかご教授お願いします。 θの範囲は2問とも 0°<= θ <= 180° です。 1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=1 2.(2sinθ-√3)(2cosθ+√2)>0 2問とも、とりあえず式を展開してみたのですが、展開した後どのように考えればよいか解りませんでした…。 2番については、積の結果が0より大きいので、(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)がそれぞれ正の場合、負の場合になるのを利用して式を作ってみましたが解りませんでした…。
- 3298999i
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- muttysatty
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Ano1です Ano3さん ご指摘の通り 145は135の間違いです なお1と2がならんである質問だから レベルから考えて 1の問は 訂正を要するのは明らか
- arrysthmia
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1. 与式を sinθ =… と変形して (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 へ代入すると、 {(cosθ) + 1} {4 (cosθ)^3 - (cosθ) + 1} = 0 と変形されます。 方程式 4 x^3 - x + 1 = 0 が解ければよい訳ですが、 そのために、x = (√3) {e^y - e^(-y)} / 2 と置いてみます。 何故この様に置いたかは、ナイショです。 興味があれば、「双曲線関数」「sinh」「3倍角」などを検索してみてください。 ともあれ、この置き換えによって、 方程式は {e^(3y) - e^(-3y)} / 2 = -3√3 と変形でき、 二次方程式を解いて e^(3y) = -3√3±2√7 が求まります。 真数条件から y = (1/3) log(-3√3+2√7) を採って 上の式に代入すれば、x の値が得られます。 この値は |x| < 1 の範囲にあるので、x = cosθ となる θ が在って、 元の式 (√2 sinθ - 1) (2 cosθ + 1) = 1 から sinθ の符号を定めれば θ がひとつ求まることになります。 この θ を代数的に書き表す方法は無いので、答えは cosθ = {(√3)/2} {(-3√3+2√7)^(1/3) - (-3√3+2√7)^(-1/3)} ただし π < θ < 2π、 または、θ = -π。 とでも書いておくしかありません。
- info22
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1は >1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=1 でなく 1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=0 の間違いだと思いますが、如何がですか? そうなら sinθ=1/√2とcosθ=1/2となる θ(0°≦θ≦180°)を求めるだけです。 2. >(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)がそれぞれ正の場合、負の場合になるのを利用して式を作ってみましたが解りませんでした… 間違っていてもいいですから解答を補足に書いて下さい。 そして >式を作ってみましたが解りませんでした…。 分からなかった箇所をどう分からないのか、具体的に補足に書いて質問して下さい。 >(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)が...正の場合 と >(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)が...負の場合 の場合のθ(0°≦θ≦180°)がどうなるか、 補足に書いて下さい。 最終的な答えは#1さんの >答え 60<<120 , 145<≦180 ではなく 60°<θ<120°,135°<θ≦180° ですね。 A#1の2の答はは多分、早とちりミスでしょう。
- koko_u_
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1. はグラフを書いてみると θ < πでは成立しないことがわかる。 式変形での解法は思い付かない。
- muttysatty
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2について 、(2sinθ-√3>0かつ2cosθ+√2>0ゆえに sinθ>√3/2 and cosθ>ー1/√2 単位円でもグラフでもいいから描いて読み取るといい 60<<120 and 0≦<145 then 60<<120 or ともに負ゆえに 0≦<60,120<≦180 and 145<≦180 then 145<≦180 答え 60<<120 , 145<≦180 1は =0の問だとおもいますが
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