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次の方程式、不等式を解け。ただし・・・・

次の方程式、不等式を解け。ただし、0≦θ≦2πとする。 (1)2sin^2θ-5cosθ+1=0 (2)tan(2θ+π/4)=1 (3)cos2θ>3-5sinθ (4)sin2θ<sinθ 三角方程式、三角不等式分からないです。。

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  • ベストアンサー
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.4

(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0 2sin^2θ-5cosθ+1=2(1-cos^2θ)-5cosθ+1=0 2cos^2θ+5cosθ-3=0 cosθ={-5±√(25+24)}/4=(-5±7)/4 cosθ=-3はあり得ないので、cosθ=1/2 よって、θ=π/3及びθ=5π/3・・・答え (2)tan(2θ+π/4)=1 tan(2θ+π/4) ={(tan2θ)+tanπ/4}/{1-(tan2θ)(tanπ/4)} =(tan2θ+1)/(1-tan2θ)=1 2tan2θ=0 tan2θ=0 0≦θ≦2πより0≦2θ≦4π 2θ=0,π,2π,3π,4π よって、θ=0、θ=π/2、θ=π、θ=3π/2及びθ=2π・・・答え (3)cos2θ>3-5sinθ cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ =(1-sin^2θ)-sin^2θ=1-2sin^2θ -1+2sin^2θ<-3+5sinθ 2sin^2θ-5sinθ+2<0 2sin^2θ-5sinθ+2=2{sin^2θ-(5/2)sinθ}+2 =2(sinθ-5/4)^2+2-2*25/16=2(sinθ-5/4)^2-9/8<0 (sinθ-5/4)^2<9/16 |sinθ-5/4|<3/4 sinθ-5/4<0であるから5/4-sinθ<3/4 sinθ>5/4-3/4=1/2 よって、π/6<θ<5π/6・・・答え (4)sin2θ<sinθ sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ 2sinθcosθ<sinθ (sinθ)(2cosθ-1)<0 sinθ>0で2cosθ-1<0・・・(ア) sinθ<0で2cosθ-1>0・・・(イ) (ア)より sinθ>0 → 0<θ<π cosθ<1/2 → π/3<θ<5π/3 共通の範囲をとってπ/3<θ<π (イ)より sinθ<0 → π<θ<2π cosθ>1/2 → 0<θ<π/3 及び 5π/3<θ<2π 共通の範囲をとって5π/3<θ<2π よって、π/3<θ<π及び5π/3<θ<2π・・・答え

その他の回答 (3)

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.3

ANo.2です。以下のように訂正お願いします。解が1個抜けていました。 >2θ=0,π,2π,3π,4πより、よって、θ=0,π/2,π,3π/2,2π です。

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.2

次の方程式、不等式を解け。ただし、0≦θ≦2πとする。 0≦θ≦2π ……(1)だから、-1≦sinθ≦1,-1≦cosθ≦1 ……(2) >(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0 2(1-cos^2θ)-5cosθ+1=0 2cos^2θ+5cosθ-3=0 (2cosθ-1)(cosθ+3)=0 (2)より、cosθ=-3は成り立たないから、 2cosθ-1=0より、cosθ=1/2 (1)より、θ=π/3,5π/3 >(2)tan(2θ+π/4)=1 (1)のとき、0≦2θ≦4π π/4≦2θ+π/4≦4π+(π/4)=17π/4 このとき、2θ+π/4=π/4,5π/4,9π/4,13π/4,17π/4 2θ=0,π,2π,3π,4πより、よって、θ=0,π/2,3π/2,2π >(3)cos2θ>3-5sinθ 2倍角の公式より、cos2θ=1-2sin^2θ 1-2sin^2θ>3-5sinθ 2sin^2θ-5sinθ+2<0 (2sinθ-1)(sinθ-2)<0 1/2<sinθ<2 (2)より、 1/2<sinθ≦1 単位円でy=1/2より上の範囲だから、 よって、π/6<θ<5π/6 >(4)sin2θ<sinθ 2倍角の公式より、sin2θ=2sinθcosθ 2sinθcosθ<sinθ (2cosθ-1)sinθ<0より、 2cosθ-1>0,sinθ<0…(3) または、2cosθ-1<0,sinθ>0 …(4) (3)のとき、cosθ>1/2,sinθ<0より、 単位円でx=1/2より右側,y=0(x軸)より下側だから、 0≦θ<π/3,5π/3<θ≦2π と π<θ<2π の共通部分は、5π/3<θ<2π (4)のとき、cosθ<1/2,sinθ>0より、 単位円でx=1/2より左側,y=0(x軸)より上側だから、 π/3<θ<5π/3 と 0<θ<π の共通部分は、π/3<θ<π よって、π/3<θ<π または、5π/3<θ<2π

  • masssyu
  • ベストアンサー率39% (29/74)
回答No.1

書き込んでいる時間がないので、解説がいるなら補足か何かつけてください (1)θ=π/3 , 5/3π (2)θ=0 , π/2 , π , 3π/2 (3)π/6<θ<5π/6 (4)π<θ<5π/3 または 0≦θ<π/3 急いで解いたので間違ってたらごめんなさい

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