無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？

質問

無限小数や無理数を導入すると、不完全性定理は成り立たなくなるでしょうか？

お答えお願いします。

回答No.3

proto

つまり、
無理数・有理数・実数全てを入れても不完全性定理は成り立ちます。

人間の知性について、
コンピュータを数学的に理想化したチューリングマシンというものがあるんですが、おそらくチューリングマシンに不完全性定理は証明できないでしょう。
それはチューリングマシンが有限個の規則から構成されているからです。
チューリングマシンには、自分自身に証明できない命題があることを証明できないのではないかと思います。

ですが人間(クルト・ゲーデル)は不完全性定理を証明しました。
その意味では人間の知性はコンピュータを超えたものである、という考えもできます。

しかし、それは人間の知性が不完全定理を超えたこととは違います。
人間が有限個の公理と有限個の推論規則から理論を展開する限り、不完全性定理に従い真偽の決定が不可能な命題が必ず存在します。
よく言われる言葉を借りれば、『不完全性定理は人間の知性の限界を示した』ということです。

ちなみに不完全性定理は正確には数学の定理ではなく、論理学の定理ですので、自然数論を含むようなすべての公理を支配していることになります。
たとえば集合論・自然数論を用いて「すべてのアルファベットで書かれた文法的に正しい文章の集合」を構成することができるらしいです。この集合はもちろん文章云々について論じるときに用いられますが、自然数論を含んで構成されていますので不完全定理が成り立つのでしょう。

しかし一方で人間には直感というものがあります。
公理系に組み込むべき公理を選ぶときには、もちろん公理なので証明なしに真であると思うような公理を採用します。
もちろん無矛盾であることは要求されますが、それ以外でどの公理を採用するかは直感に頼るほかありません。
ある公理が成り立つと直感できる能力を考えると、人間は論理を超えた存在であると言えるかも知れません。
まぁ、いつでも他の人と同じように正しく直感できるという保障はありませんから、真なるひとつのものを求め論じていくには多少不都合があります。

具体例を挙げると、過去に背理法を認めるかどうかの論争や、平行線公理の違いによるユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の誕生、変わったところでは「熱力学第二法則の証明は可能か？」の話などがあります。
もし興味があればどうぞ。

補足

それでは、
「直感」「ひらめき」が起こる理由を、数学で証明したいですね。
出来ますでしょうか？
もし、全ての数列は不完全性定理が成立するのであれば、
「人間は数を超えた世界の力を持っている」ということになりますが。

量子論を数値化すると無理数になりますよね。
∞の選択肢（確率）があるという事と無理数を絡めて、
もし量子論の定量化が「不完全性定理の外」であるなら完璧だと思ったのですが。

これについも意見をお願いします。
波束の収束はどの様な数字で表されるかもお願いします。