無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？

質問

無限小数や無理数を導入すると、不完全性定理は成り立たなくなるでしょうか？

お答えお願いします。

回答No.4

MySalt

＞「直感」「ひらめき」が起こる理由を、数学で証明したいですね。

これは、数学で扱う対象（命題）ではありません。数学の証明とは、
他の学問に比べて強力である反面、極めて限定的なものであるとも
いえます。＃３さんの言葉をお借りするなら、

＞有限個の公理と有限個の推論規則から理論を展開する

のが、数学の証明です。公理を無批判に認め、推論規則と言う名の
単なる記号操作を「証明」と呼んでいるだけに過ぎません。最初の
出発点である公理は無矛盾でありさえすればよく、実在の地球や宇宙の
現象を正しく記述している必要はありません。このような数学の姿勢は、
一方では「この世にあるかどうかわからないものまで対象にでき、
実在を検証する必要なく論理が展開できる」というメリットがある反面、
「この世のなんらかの現象・存在を示すことは一切できないし、『なぜ』
に答えることもできない」というデメリットがあります。

しかしながら、直感やひらめきが起こる理由を考えることは良いことだと
思います。その一部には「数学の証明」を使い、足りない部分は
他の学問のエッセンスを含めるといいと思います。

さて、私も言葉的にラクなので「不完全」と一言で表現してますが、
ゲーデルが何を示していたか、不完全性定理とは何かということは
常に念頭に置いておく必要があります。不完全性定理とは、ある系
（自然数とか実数とか無理数）が無矛盾であるならば、真偽を決定
することができない命題が存在し、また自身の無矛盾性を証明することが
できないというものです。「不完全」というセンセーショナルな言葉
の響きが持つ、「概念的に不完全で、神の領域に達するには不十分」
というようなイメージは捨て去ったほうがいいでしょう。

無理数という言葉がよく出てきますが、無理数とはご存知の通り、
整数の比では表すことが出来ない実数のことです。これが「無限」
であるとか「数え切れない」と一言で言ってしまうには、少し
言葉足らずのように思います。無理数の個数（濃度）が無限なのか、
無理数を１０進展開したときの桁数が無限なのか、あるいはそれ以外
の意味なのかが読み手にはわかりにくくなっています。

文脈からはある何らかの一つの無理数aが「無限である」ということに
ついて述べられているように思うのですが、その意味で言うと、小数点
以下の桁数のことになるのでしょうか。数を１０進で表現できようが
できなかろうが、そのこと自身は大した意味は持たないので、ここから
何かが数学的に導かれることはあまりないでしょう。私が文脈を
取り違えていたらすいません。

＞∞の選択肢（確率）があるという事と無理数を絡めて

物事と物事を絡めるのは良いことです。ただ、学問を展開するなら、
「無理数の○○が無限という性質を持つので、××という性質が
　成り立ち（あるいは成り立たず）、これこれこういう推論を経て、
　△△が示される」
という感じに思索を進めていくとよいと思います。「何か似ている
っぽいから絡めて、イコールにしてしまおう」という単なる直感は、
数学の論理展開の手法ではありません。

ただ、何度も言いますが、そういう直感を排除して、真実とか実在とかに
対するアプローチを犠牲にしたことで、数学は「厳密さ」を獲得して
います。要は、「これを示すには数学、それを示すには他の学問」と
いうふうな適材適所ですね。宇宙は、数学ごとき狭い学問だけで
語り尽くせるような存在ではないのですから。

学問の境界を越えて、今後もがんばってください。

補足

ひらめきの定量化については答えていただいていませんね。

不完全性定理の意味はもちろん理解していますよ。

「何となく、世界は不完全」なんて思ってません。

不完全なのは「世界を知る事」についてです。

量子論は不完全性定理が成り立つ数列かどうかも答えていただいていません。

波束の収束についても答えていただいていません。

よろしくお願いします。