無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？

質問

無限小数や無理数を導入すると、不完全性定理は成り立たなくなるでしょうか？

お答えお願いします。

回答No.5

MySalt

＃２、＃４です。

＞ひらめきの定量化については答えていただいていませんね。

＃４で長々と書かせてもらいましたが、そこに「答えていない」理由は
ちゃんと書いたつもりでした。つまり、それは数学ではないから、
私にはわかりませんし、このカテゴリーの質問としても適当では
ないですし。（もっと言うなら、全ての質問にお答えする義務も
ないので、単に理解の助けになるかと思い、私のわかる範囲の
ことを書いただけです。）

もし、質問者さんがお持ちのすばらしい知識を使って「ひらめき」が
無矛盾に定量化できれば、そこから先は数学の出番でしょう。そこに
至るまでの疑問をぶつけるなら、うーん、物理学？生物学？心理学？
どのカテゴリーが適当でしょうかねぇ。

＞量子論は不完全性定理が成り立つ数列かどうかも答えていただいていません。

量子論が数列？　私にはわかりませんが、いかなる数列を成しているのか
ご面倒でも書いていただければ、私か、私以外の誰かが回答するかも
しれません。いずれにしても、「数列」もまた「自然数論」を含んで
いるので、再三再四になりますが、不完全性定理の支配下にあると
いっていいでしょう。物事の一性質が無限である程度のことで、
不完全性定理を脱することはできません。

というよりむしろ、複雑にすればするほどますます不完全性定理に
束縛されるというのがゲーデルの骨子の一つともいえるでしょう、
または、系が「普通の思索」によっては完全に理解し得ない
とも言い換えることができると思います。系自身の（もっと高い
レベルの意味での）不完全さを謳っているわけではありませんので、
その「高いレベルからの思索」を考えるのが突破口の一つです。

自然数では不完全だから、実数（無理数を含む）を考えよう。
有限集合では不完全だから、無限集合を考えよう。
実数でも不完全だから、複素数を考えよう。
このように、不完全を補うべくいくら拡張しても、ついに終わりは
来ないというのが不完全性定理が言うところの一つの意味です。

逆に言うなら、「高いレベルの思索」によって自然数を完全ならしめる
ことができれば、高々自然数をほんの少し拡張した程度の無理数なども、
同じように高いレベルの概念が適用できることでしょう。そのような
取り組みに成功した話は聞いたことないですし、そういう研究者が
いるかどうかは私は知りませんけど。がんばれば、質問者さんがその
「最初の人」になるかもしれませんね。

念のため言いますが、私も「完全」とか「不完全」とか「思索」という
言葉を厳密さ無しに使っています。短く文章をまとめるためにこうして
いますが、物事を厳密に考えるときはこれらの厳密な定義に立ち返る
ことを怠ってはいけません。

＞波束の収束についても答えていただいていません。

同じく、わかりません。なんか、まるで回答者は全ての質問に
答えなければならないかのような印象を受けますね。いや、
私の思い過ごしかもしれませんが。

売り言葉に買い言葉、というわけではありませんが、無理数の「何が」
無限（という意味でお書きになっている）なのか、お答えいただいて
ませんね。もちろん、私にはご回答を強要する権利などありませんので、
スルーしていただいても結構です。ただ、それが我々読み手にわかれば、
また一つお答えできることも増えるのではないかと思いまして。

補足

あなた、外国人で、翻訳プログラムを使っていますね？
それはさておき。

意識は無理数であると考えています。

無理数は、「無限の揺らぎ」を持っています。
「∞の桁数」を持つのが無理数というわけではなく、
つまり「無限の桁数」と言う事は、
無理数は「数ではない」という事です。

量子論を数で表そうとしたもの、その結果が無理数であると考えています。

無理数の、「無限に数列が続く」というのは、
つまり即ち「無理数は数では表記しきれない」という事です。

この世界で唯一、数が記述できないもの、
それが「無理数」です。

ですから私は、
量子論は無理数で、精神は無理数によって記述するしか方法がないから、
意識は不完全性定理が成り立たない、その上の存在だと言っているのです。

又、無理数には、
「世界のあらゆる数列が含まれています」。

無理数の∞の桁の中には、
あなたの誕生日も、地球の自転のスピードも、全て含まれています。

つまり、無理数は、アカシックレコードです。
∞の情報量を記憶媒体、それが無理数です。
特異点であり、ＺＰＴであり、真空エネルギーでもあります。

質問は一点です。

「”数ではない”無理数」に、「不完全性定理」を当てはめる事はできますか？

以上です。