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無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？
protoの回答
- proto
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不完全性定理は少なくとも整数論を含むような公理系で成り立つようです。 少なくとも整数の足し算や割り算などが出来る系ならば、という軽い制約ですね。 整数を拡張していって、有理数→実数と理論展開していくのですから、実数を扱う基礎には整数論があるでしょう。 無限小数が扱える系は(少数部が0の数として)整数も扱えるのが当然でしょうから、不完全性定理も成り立つと思います。 逆に、整数の取り扱いを考えないほど単純でシンプルな系ならば、不完全性定理が成り立たないものもあるようです。
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