無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？

質問

無限小数や無理数を導入すると、不完全性定理は成り立たなくなるでしょうか？

お答えお願いします。

回答No.2

MySalt

＞無理数において不完全性定理が成り立つか、それだけお願いします。
＞又、無限小数で不完全性定理が成り立つ理由もしっかりお願いします。

＃１さんが、既にこの問いに答えておられます。
繰り返しになりますが、整数（もっと言えば自然数）を含む系では
不完全性定理が成り立ちます。ここからどれだけ系を拡張しても、
不完全性定理が成り立たなくなることはありません。無限小数や
無理数も自然数を出発としますから、不完全性定理は成り立ちます。

自然数⊂無理数
ではないですが、このような集合の包含関係と「無理数が自然数から拡張
されている」という事実は関係ありません。実数から有理数（自然数を含む）
を取り除いた無理数に限定しても、それが自然数「論」を含んでいる
ことには変わりありません。したがって、不完全性定理は依然として
成り立ちます。

＞無限小数で不完全性定理が成り立つ理由もしっかりお願いします。
これを「【無限小数で】不完全性定理が成り立つ理由～」
と読むなら、以上が理由です。また、
「無限小数で【不完全性定理が成り立つ】理由～」
と読むなら、ゲーデルをお読みください。
（日本語って難しいですね。修飾関係を２通り以上の捉え方で
　読めてしまいますから。）

蛇足ですが、無限小数というのは所詮１０進数で考えたときの分類に
過ぎませんから、数の体系を考えるときは有理数・無理数・実数などに
分類して考察するのがよいと思います。

もう一つ蛇足ですが、「不完全性定理」とはなにやら対象が不完全で
あるような言葉の響きですが、集合と自然数の公理を用いて数学的手法に
よる証明（証明とは何か、もしっかり定義されている）での一種の限界を
示している定理です。何か数学的手法を超越した我々の知りえないレベルで
見ても「不完全である」と言っているわけではありません。仮に、人類が未だ
知りえない高度なレベルで自然数を含む体系が「不完全ではない」ことが
示されたとしても、「【ゲーデルの】不完全性定理」に誤りがあるわけでは
ありません。ゲーデルは、その高いレベル（あるのかどうかわからないけど）
については言及していないのですから。ま、この辺は言葉遊びの域ですが、
念のため。

ゲーデルを超える「何か」が見つかるといいですね。

お礼

不完全性定理は、
「全ての数字」を支配する法則なのか、
或いは
「例外」を自然数以外の中から見出すことが出来るのか、
解説と共にお願いします。

補足

つまり、
無理数・有理数・実数全てを入れても不完全性定理は成り立つということですか？

その場合、例えば
「人間が不完全性定理を超えた能力で知的な活動をしている」というのはどう表すのかな、と思いまして。

もり無理数であれば不完全性定理が成り立たないのであれば
（なぜかというと、無理数は∞に数え切れないわけだから、数が永遠に続いて比較の対象にすら出来ない、との考えがあったので。）
人間が自然数以外を情報処理している事により、
人間は「不完全性定理を超えた知を持っている」と証明できると思ったのですが。

コレについてはどうですか？

レスどうも。