無理数や無限に区切れる小数を含めた場合でも、不完全性定理は成り立ちますか？

質問

無限小数や無理数を導入すると、不完全性定理は成り立たなくなるでしょうか？

お答えお願いします。

回答No.6

MySalt

＞「”数ではない”無理数」に、「不完全性定理」を当てはめる事はできますか？

なるほど、こうして見れば確かにご質問は一貫して一点のみでしたね。
私を含めて全ての人は、ご質問者さんがまさか「無理数は数ではない」などという
大きな間違いをおかしているとは思わなかったので、ここにたどりつくまで
苦労してしまいました。

然り。無理数がもし数でなければ、不完全性定理を当てはめる事は
できません。

でも、無理数は「数」です。厳密に言うなら、実数（無理数を含む）は、
同じ値に収束する有理数の点列の同値類から構成したりしますので、
やはり「数」です。「無理数とは何か」をご勉強なさるといいでしょう。
１０進展開で表現しきれない程度のことで「取扱不可能」になるほど、
数学はヤワではありません。

裏を返せば、「無理数が数ではない　⇔　無理数は自然数から構成できない」
ということになりますが、「数学的に構成不可能」であることと、「学が
足りないためにある一個人においては構成不可能」ということは
話が違います。すでに何百年も前に、実数（無理数含む）は矛盾なく
構成され、完結しています。

しかしまた、数学は、「こういうものを無理数と呼ぶ」と言っている
だけにすぎません。量子論とか何だとかが無理数であるということには
一言も言及していません。だから、その量子論と、無理数ではないもっと
別の新たに定義された（しかも自然数論を含まない）体系とを結び
つけることができれば、おそらくご質問者さんの目的だと思われる
「量子論は不完全性定理の制約を受けない」ということも示される
可能性はあろうかと思います。

無理数ごとき（と言っては無理数に失礼ですが）初等的なたかだか
循環しない無限小数程度のものでは、量子論は表現できないのでは
ないでしょうか。これは私の専門を外れるので断定は避けますが、
もっと高度な概念、私などでは知りえず、質問者さんのような高い
レベルの知識をお持ちの人でしか到達し得ない概念で、量子論と
一種の「同型」を表現できる何かが見つかれば、また一歩進むことが
できるのではないかと思います。

どうぞがんばってください。

私もそろそろ、自分で作った自分自身のキャラに耐えられなくなって
きたので、この辺で終わっておきます。バトンタッチ。

お礼

ありがとうございます。
数学では、「一つの状態」は座標等で記述できますが、
「幾つもの可能性がある」事を記述できますか？
例えば、色々な選択肢が同時に存在する事を、記述する方法はありますか？

その上で、
「その可能性が∞」だったら、∞でしか記述できませんよね。

質問の仕方を変えます。

「∞」に対して、不完全性定理は成り立ちますか？

補足

無理数は数？

それならπを数を表現してみてください。
何桁使ってもいいですから。

よろしくお願いします。