無限小数と整数

質問

無限小数と整数は同じだということを最近知り衝撃が走ったのですが、
それなら、
3.000000....1
3
は同じになるのですか？
2.9999999...
3
は同じらしいので、少数点以下に無限に０が付き、かつ一番最後に1が付いたら
2.9999...
3
と
3
3.0000...1
の誤差も同じになると思うのですが...
もし、わかる人がいたら教えてください。

回答No.8

edomin · ベストアンサー

＃２です。
「無限を1000000...では表せないということだと把握しましたが、正解でしょうか？」
その通りです。手で書き表すことは不可能でしょう。永遠に書き続けることは出来ません。人間の寿命は有限ですから。

回答No.9

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。
無限というのは、ご指摘のように直接取り扱うことができません。
しかし、例えば身近な例では、自然数は無限に存在します。
これは、自然数の定義のひとつである「ある数が自然数であれば、『その次の数』も自然数である」というものから導かれます。
また、
3.1, 3.01, 3.001, ....
の極限値が「３」であることは、
・３に近い数字をひとつ決める
・それがどのような数字であっても、この数列の、どこかの項以降のすべての数字は、その数字よりも３に近くなる
ということで定義します。

また、個数が無限である場合、「全体と１対１対応の取れる真部分集合が存在する」という大切な生成つもあります。
これは、「自然数全体と、（０以上の）偶数全体は、１対1に対応させることができる」という意味です。
実際、自然数 n に対して、2n を対応させれば、１対１対応が可能です。
例えば、自然数を 0 ～ 10^68 としても、その中の偶数は、10^24個ぐらいしかありません。偶数と全体との１対１対応はできないわけです。

このように、直接表現できないことでも、その性質や特徴をうまくとられて議論を進めることができるのは、数学の特徴のひとつです。
（おかげで、たとえば、「無限次元ベクトル空間」なんていうものさえ、扱うことができます）

また、
3.1, 3.01, 3.001, ... という数列のすべての数字は、３より大きい（有限の範囲）が、極限値（こっちは無限の範囲）は、３に等しいということも起こります。

回答No.7

edomin

＃２です。
「無量大数を無限というのでしたら、」
無量大数は無限ではありません。
数を表すときそれ以上の単位が「言葉」としては無くなるだけです。先ほどの質問者さんの補足でもあったとおり「単位としてはこれ以上小さい数字はない」というのも、言葉ではこれ以上小さい単位をもうけていないだけです。
なので、10^68（10の68乗をこう書きます。）や10^70乗はれっきとした数であり、無限ではないので同じものではありません。
また、「(-)10-68で数字が終わったら無限小数とは言わないのでしょうか？」
数字の最後が終わっているものは、無限ではありません。有限です。なので、10^(-68)はれっきとした有限小数です。

まだ、疑問点がありましたら、補足でお願いします。

お礼

補足で述べましたが、無限を表せないのだとしたら「無限」「∞」などの言葉以外で無限を表すことはこの世界では無理ですよね？
0を羅列したところで限界がありますし、一見して無限だとわかるものもありませんし、私たちの世界で無限にあるものて何一つないんですね。

ちょっと驚きです。もし、身近に無限が存在しているのであればぜひ教えていただきたいです。

補足

無量大数は無限ではないことは把握していましたが、そういうことにした場合で考えました。いまいち無限の存在がわからないので
では無量大数を超えたところで無限ではないということですね

無限を1000000...では表せないということだと把握しましたが、正解でしょうか？

回答No.6

edomin

＃２です。
「この場合は3より大きいのでしょうか？」
単位としてはそこで終わりかもしれませんが、数字はまだまだ続きます。
あくまでも、有限小数にした段階で３よりも大きい数字になります。

補足

つまり有限であれば見た通り大きい方が大きいと　いうことですね
数学は奥が深いです。
無量大数を無限というのでしたら、10-68以上は続いても続かなくても同じではないのですか？
どちらにしろ無限であれば10-70でも無限なわけですから数字は続かないのではないかと思うのですが
それでもこれを少数にしたとしたら(-)10-68で数字が終わったら無限小数とは言わないのでしょうか？

回答No.5

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。

無限小数をどう構成するかという話でもあります。
実際には、「無限桁の数」を直接扱うことはできません。直接扱うことができないので、数学の世界では、「極限」という考え方を導入して、厳密な議論ができるようにしました。

たとえば、「３のあとに無限に０が並んで最後が１」というのがそのままの意味で存在しないというのは、「無限に０が並んだ次」というのを扱うことができないのでからです。

ただ、これを、
3.1, 3.01, 3.001, 3.0001, .... という数列の極限であると考えるのならば、これは、確かに３になります。
このような構成法を以て、無限に０が並んで、最後が１とするならば、こういった数は考えられることになります。

このように、数学では、直接「無限の桁」を扱うことは避け、何かの極限の形で理解すると、いろいろな取り扱いができるようになります。

既に回答にあるような、0.333333... 分が 20秒であるというのも、
0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ..... の極限が 20秒であると理解できます。（有限桁の範囲では 20秒に等しくなることはないので）

さらにいえば、無限桁の少数に対して、
0.3333..... × 3 = 0.9999.... と表記できるかどうかというのも、必ずしも自明ではなくて、これを厳密に示すには、極限の考え方が必要です。

補足

極限をいう考え方を知りませんでしたので、ちょっとわからないのでわかる領域で話を進めますと、「無限に０が並んだ次」を扱われないのでしたら、
0,00000000000000000000001(浄＝１０－２３）
が、単位としてはこれ以上小さい数字はないよ　ということらしいので
3をベースに考えるとしたら、
3,000000000000000000000001
つまり、10-23乗個0が付きそのあとさらに1が付けば、無限に0はないけど、単位としては数え切れない部分に1がある
この場合は3より大きいのでしょうか？

回答No.4

edomin

＃２です。
「存在しないということですか。」

存在しないわけではありません。
以前違う質問で例示したのですが、質問者さんは「1/3分」をどう思いますか？
小数で表すと、
0.3333333…分
なんですが、
0.3333333…4分
でも
0.3333333…2分
でもありません。
「1/3分」は「20秒」というしっかりした数字を持っています。
1/3分=0.3333333…分=20秒
なんです。無限小数では書ききれない数字ですが、見方を変えると存在する数字になります。
なので、
0.3333333…2分<20秒<0.3333333…4分
有限で切ってしまった数字とは全く違う数字になります。
これは、「誤差」ではありません。違う数字なんですよ。

お礼

あぁ　そういうことなんですか。
ちょっとわかった気がします。

誤差ではなく、違う数字だと覚えておきます。
ありがとうございました。

回答No.3

gootaroh

ご質問の矛盾点については、他の回答者様方のご指摘のとおりです。
>無限小数と整数は同じだ
・というのは、いろんな説明の仕方があると思いますが、例えば、1=0.99999999999999999999999・・・というものではないですか？
これは、1/3=0.333333333333333333333333・・・の両辺を3倍した状態です。つまり、3/3=0.99999999999999999999999・・・ですよね。
要するに、「同じ数値」を、小数で表すか、分数で表すか、という「表現方法の違い」にすぎず、数値そのものは一緒なのです。
一緒なので、ご質問にある「誤差」とは意味合いが違います。
よって、ご質問にあるような「3」と「3.0000...1」は、こうした「表現方法の違い」というわけではないので、イコールとはいえません。

補足

他の方の回答は結論がでていませんのでこの回答に補足させていただきますと、まさにそういうことで、「スマリヤンの究極の論理パズル」を読んで知ったことです。

安易に存在しないと言われてもはたしてそれが答えなのか信じられませんね。

1=0.99999999999999999999999・・・
で考えると1=1.00000......1は、同じではない
というよりそもそも存在しないということですか。
解せませんね　数学は

回答No.2

edomin

「無限に０が付き、かつ一番最後に1が付いたら」
ここが、矛盾しています。
無限に０が続いているので、「最後」はありません。
なので、
「3.000000....1」
これは、無限小数ではありません。
よって
3≠3.000000....1
です。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

「０が無限につく」かつ、「最後が１」ということはあり得ないので、この意味での、
3.0000000....1
というものは、存在できないというのが正解です。

「無限に続く」ものに、「最後」はないので。

また、
2.99999.... と 3 が同じというのは、2.9999999.... という数字があると考えると、理解できないと思います。
ひとつの考え方として、
2.99999....
というのは、
2, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, .... という数列が到達する到達点（数列の収束先）を表現しています。
ですから、2.999999.... という数字があるというよりは、2.9999... は、3 にどこまでも近づいていく（それを表現したもの）というのが、考え方としては正解です。