整数部分、小数部分

質問

（問題）
1/√2-1の整数部分をa、少数部分をbとするとき
a^2+b^2+2bの値を求める。
（答え）
５

下記の通り計算しました。
整数部分から求める。
√2+1/(√2-1)(√2+1)=√2+1
√2=1.4142・・・なので、1.4+1=2.4≒2
整数部分a=2としました。
小数部分はもとの数から整数部分を引くということで
b=[1/√2-1]-2としました。
それをa^2+b^2+2bへ代入してみたのですが、答えが５になりません。
整数部分、小数部分という言葉から忘れていたので、途中の計算もこれで合っているかどうかも自信がありません。
本を見ても解らないので、教えていただけないでしょうか？宜しくお願い致します。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

小数部分はそれで間違いありません。せっかく計算・有理化したのですから使いましょう。
a+b=√2+1と計算されているのですから、
b=(√2+1)-2=√2-1です。
よってa^2+b^2+2b=a^2+b(b+2)
=2^2+(√2-1)(√2-1+2)
=2^2+(√2-1)(√2+1)
=4+(√2)^2-1^2
=4+2-1=5
で問題ありません。

お礼

解説いただき、ありがとうございました。
小数部分は合っていたのですね。
有理化したのを使用したら、すぐ計算できました。

回答No.3

debut

Ｎｏ２です。

＞“b^2+b”からではなく、“b^2+2b”→b(b+2)でよろしいでしょうか？
　　はい、その通りです。うっかりミスでした。ごめんなさい。

お礼

了解しました☆
皆様の回答を参考に解き直しても、解答が出せるまで時間がかかることもあるものですから、些細な事でも聞いてしまうのです（私の解き方はどこまで合っているの？と思いながら解いていますので・・・。）
回答の荒探しではないですよ～。お気を悪くなさらないでくださいね。

回答No.2

debut

b=・・とするときに、もとの式を√2+1と変形したのだから、これを利用
した方が計算ミスを防げると思います。
bは√2+1の小数部分なので、b=(√2+1)-2=√2-1　とできます。
また、代入するとき、b^2+b をb(b+1)として代入すると非常に楽です。

お礼

無事、計算できました。
代入のときの一工夫で計算もさらに簡単に出来るのですね。また、ひとつ勉強になりました。
※問題はa^2+b^2+2bですから代入するときの形は
“b^2+b”からではなく、“b^2+2b”→b(b+2)でよろしいでしょうか？
回答ありがとうございました。