10進数→n進法の変換 整数と小数の違いについて

質問

整数の場合
27という10進数の数を2進法にしたい場合
2で割り、2のまとまりを作り余りが出来ると、それを1の位の値にする
と、このようなことを繰り返すことで2進法の表記を作り上げると思います。

小数の場合
0.8125という10進数の数を2進法にしたい場合
2を掛ける(=0.5で割る) ことで 0.5のまとまりを作り、商の整数部分を0.5のまとまりと考え少数第一位の値とする
と、このようなことを繰り返すことで2進数の表記を作り上げると思います。

と、ここまでは理解できたのですが
なぜ整数では、小さい桁から、まとまりを作っていくのに
小数では大きい桁から、まとまりを作っていくことになるのでしょうか？

この疑問を自分の中でうまく言葉に出来ず、もどかしいので説明できる方がいましたら
私のレベルでも理解できるように説明していいだけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＃１さんと、ほぼ同じ内容の回答になりますが。

＞なぜ整数では、小さい桁から、まとまりを作っていくのに
＞小数では大きい桁から、まとまりを作っていくことになるのでしょうか？

重要なのは、まとまりを作る、ことであって、実際には、どういう順番でまとまりを作るかはどうでもいいです。
別に、整数部分を大きい桁からまとまり作ってもいいですし、小数で小さい部分からまとまりをつくっても全くかまいません。

たとえば、27という10進数の数を2進法にする場合に、最も大きい桁からまとまりを作っていけば、
27に、2^4=16が１個含まれる
27-16=11に、2^3=8が１個含まれる
11-8=3に、2^1=2が１個含まれる
3-2=1に、2^0=1が１個含まれる
ということで、２進数で11011となることがわかります。

また、0.8125という10進数の数を2進法にしたい場合に、最も小さい桁からまとまりを作っていけば、
0.8125に、2^(-4)=0.0625が１個含まれる
0.8125-0.0625=0.75に、2^(-2)=0.25が１個含まれる
0.75-0.25=0.5に、2^(-1)=0.5が１個含まれる
ということで、２進数で.1101となることがわかります。

で、ここで問題なのは、整数の場合だったら、最初に、最も大きい桁として、
・27に、2^4=16が１個含まれる
といったわけですが、最も大きい桁が2^4であることをどうやってみつけるかってことです。
27くらなら、最も大きい桁が2^4であることはパッと見でわかりますが、
たとえば、１０進数 123456789 を、２進数に変換したときの最も大きい桁は何か、とかすぐにわからないでしょう（答えは、2^26）

同様に小数の場合だったら、最初に、最も小さい桁として、
・0.8125に、2^(-4)=0.0625が１個含まれる
といったわけですが、最も小さい桁が2^-4であることをどうやってみつけるのか。

ここで、ちょっと頭を少しひねると、
どんな数（整数だろうと小数だろうと）であっても、小数点の位置（2^0=1）というのは固定であるわけで、
まとまりを作る順番は自由に決めてよいなら、小数点（2^0=1）の位置で最初にまとまりを作って、そこから両側にむかって、まとまりを作っていけば、最も大きい桁は何か？、とか、最も小さい桁が何か？、とかを考える必要がなくなる、ってことに気づきます。

それがつまり、
＞整数では、小さい桁から、まとまりを作っていくのに
＞小数では大きい桁から、まとまりを作っていくことになる
という方法です。

お礼

皆様、丁寧な説明ありがとうございました。
理解することができました。

回答No.5

bgm38489

訂正します。小数の変換のところで、２で割った余りとか書きましたが、２＾（－１）で割って、商ができるか、ということです。

回答No.4

stomachman

○Xのn進法表現の小数部分のp桁目は　Xを(n^p)倍したものの整数部分をnで割った余り。
○Xのn進法表現の整数部分のq桁目は　Xを(n^(1-q))倍したものの整数部分をnで割った余り。
　p=1-qと書けば、どっちも全く同じです。つまり、「『小数部分のp桁目』とは『整数部分の1-p桁目』と同じことだ」と考えることにすればいいんです。

　さて、n倍することをp回繰り返せば(n^p)倍したことになる。nで割ることをq-1回繰り返せば(n^(1-q))倍したことになる。 この性質を使うと、別の桁を算出するために行った計算の結果を旨く再利用することで手間が減らせます。
　たとえば、もしXが(n^R)以下であると分かっているのなら、まず(n^R)を計算しておいて、整数部分のR桁目, R-1桁目, …, 1桁目, 小数部分の1桁目, 2桁目,… という順に決めて行くと、計算の結果を再利用して効率よく計算できる。ですが、Rが分からない状況では、この手は旨くないですよね。
　一方、n倍することを1回,2回,…と繰り返せば、(n^1)倍、(n^2)倍、…の順で計算され、nで割ることを0回,1回,2回,…と繰り返せば、(n^0)倍、(n^(-1))倍、(n^(-2))倍、…の順で計算される。だから、整数部分と小数部分のそれぞれについて、小数点に近い方から順に計算していくと、計算結果の再利用が旨く出来るし、Rが未知でも良いし、そして最初に(n^R)を用意する必要もない。というのが、ご質問にお書きの手順ですね。

回答No.3

bgm38489

n進法の原理は理解されてますか？
１０進法の場合、
123=1*10^2+2*10^1+3*10^0
0.123=1*10^(-1)+2*10^(-2)+3*10^(-3)
です。
2進法の場合、各位が、下の位から見ていけば、10進法でいう（ここが大事！）2^0，2^1,2^2…となっているわけです。小数だったら、上の位から見て、2^(-1),2^(-2),2^(-3)…となっています。

整数では、小さい桁からまとまりを作っていくと言いますが、実は最終的に何回割れるか、試している過程で、出てくる余りを小さい桁の数にあてている、ということなのです。

2進法ではわかりにくいと思うので、10進法で考えましょう。
２３４を１０で割れば商は２３あまり４。２３を１０で割れば、商は２あまり３。２を１０で割れば、商は0余り２。逆向きに見ていくと、10^2の位には、１０＾で３回割った余り２が来て、10^1の位には10で2回割った余り3が来て、10＾0の位には、10で1回割った余り４が来るわけです。

２進法では、割ることができたなら、その位に１がくるとなります。

進法の変換の原理は、整数の方がわかりにくい。
2の累乗数（２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６…）が頭に入っていれば、10進法で与えられた数から、一番大きい２の累乗数を引いていけば、簡単に求められますがね。このやり方の方が、原理を理解するうえでもわかりやすい。というか、このやり方から、筆算的に求める方法として、一般的なやり方が考案された、とみるべきでしょう。

小数の変換は簡単なものです。大きな数が、一番左にくるのですが、これがn^(-1)なのですから。0.75を2進法に直す場合、
0.75=0.5+0.25=2^(-1)+2^(-2)から、0.11となります。これは、２で割って、さらに２で割ってとしていっても、同じことです。はじめに２で割った余り、というか割ることができたかどうかの結果が来て、さらに２で割ることができたどうかのの結果が…後から読み直す必要がありません。

整数の変換がわからなかったら、小数の変換のから理解するほうが近道だと思います。
ただし、何でも変換できるわけではないので、ご注意あれ。２進数はみな10進数に変換できますが、反対は無理なことの方が多い。例えば、0.1。これを２＾（－ｎ）の形の和にすることは、無理です。0.0625＋00.3125＋…

回答No.1

jungsuki

回答の前に予備知識として、乗数について。（もしわかってたら飛ばしてくれて構わないです）

ここで言っている乗数とは、いわゆる「２の２乗」とか「２の３乗」とかのことです。
（ここでは簡単のために、「２の２乗」のことを「2^2」、「２の３乗」のことを「2^3」と表すことにします）

つまり

2^2　は　2×2　＝　4
2^3 は　2×2×2　＝　8
2^4　は　2×2×2×2　＝　16

となります。

実は乗数の「何乗」の部分は「正の整数」以外にも「負の整数」や「0」なんかを入れてもいいのです。
（もっというと分数や小数を入れてもいいのですが、ここではややこしいのでやりません）

その場合どうなるかというと

2^0　は　１（２が一つもかけられていない）
2^-1　は　1÷2　＝　1/2（0.5）
2^-2　は　1÷2÷2　＝　1/4（0.25）

となります。まとめると乗数は

2^3　は　8
2^2　は　4
2^1　は　2
2^0　は　1
2^-1　は　1/2
2^-2　は　1/4

となります。

ここから本題。pseudonym2013さんの質問の話にもどすと
（2進法などへの変換の話に戻すと）

整数（整数部分）の場合は2の「正の整数」乗部分の「絶対値の小さい順（数の小さい順）」
つまり「2^0（1）、2^1（2）、2^2（4）、……」という順でまとまりを作っていくのに対し、

小数（小数部分）の場合は2の「負の整数」乗部分の「絶対値の小さい順（数の大きい順）」
つまり「2^-1（0.5）、2^-2（0.25）、2^-3（0.125）、……」という順でまとまりを作っていく

という風に考えたら少しはすっきりしないでしょうか。

参照URLは乗数の話のもうちょっとわかりやすい説明がのっています。

参考URL：

http://www.excel.studio-kazu.jp/tips/0032/