二重根号のはずし方と整数部分・小数部分

質問

タイトルの通りです。
高校数学で分からないことがあります。
１、次の二重根号をはずして簡単にせよ。
√（6＋√２０）
という問題ですが、二重根号をはずす公式とかあるのでしょうか？
解き方を教えてください。

２、「実数Aにおいて、A＝a＋b　　（0≦ｂ＜1）とあらわすとき、aをAの整数部分、ｂをAの小数部分というそうです。

３－√５/１の整数部分をa、小数部分をｂとするとき、ｂの値を求めよ。
小数部分がないので多分なにか数を少数に置き換えるのでしょうか、やり方がわかりません。

回答No.4

noname#208901 · ベストアンサー

二重根号のはずし方。

√の中身をa+b+2√ab またはa+b-2√abにする。

なぜなら、普通の（a+b)^2=a^2+2ab+b^2

という、最も基本的な展開式がありますよね。
それの根号版です。

a=(√a)^2　b=（√b)^2　２√a√b
だから、おんなじ形にできるわけです。

ポイントは、２乗の形に持って行けるように
式を書き換えること。ですね。

√6+√２０の中身に着目。

６＋√２０ですね。

√２０＝２√５　は大丈夫でしょうか。

すると、５＋１＋２√5×１と形が変える事が出来ますので、

（√５＋√１）＾２と、√の中身を変形できるのです。

ですから、２乗によって√がはずれますので、

√５＋１となります。

公式と言うよりも、（a+b)^2の√バージョンということができます。
これを考えれば特に覚える必要もないと思います。

次に、整数部分と小数部分に行きます。

例えば、√２＝１．４１４２１３５６と覚えろといわれたことはありませんか？
√で整数部分、小数部分と言うと、√それ自体というより、
その√が実際どれくらいの大きさか。の方が大切になります。
√２の場合、整数部分が１　小数部分が０．４１４２１３５６
ということです。

３－√５分の１の整数部分をa,小数部分をbとするときですね。

まず、分母に√があるときは、９９％問題に指示がないかぎり有利かします。
つまり、√を消すような計算をするわけですね。

３－√５に３＋√５をかければ、９－５＝４となります。
分母にかけたので分子にもかけます。

よって、分子は１ですからそのまま３＋√５ですね。
つまり、３＋√５分の４ということができます。

これで上のように計算してみましょう。分母があるから少しややこしい。

√５は、２．２３６０６７９・・・でしたね。

つまり、整数部分は２　小数部分は０．２３６０６７９です。
よって、

分子は、３+2+0.2360679ですから、

５分の４と、0.2360679分の４にわけることができます。

このうち、５分の４といっても、１．２５ですよね。
つまり、最終的な整数部分は、1なわけです。

そして、０．２５を０．２３６０６７９・・・II足します。

すると、a=1 0.4860679=bという答えになると思います。

√２や√５、はこのように、語呂合わせで実際の大体の数字が
割り出せました。

では、√１７とかはどうすればわかるのでしょうか。
それには、一番近いものを出してやります。

というのは、√９＝３　√１６＝４　√２５は５ですね。

√１７は√１６と√２５にあることは、間違いないわけです。

とすれば、√１７の整数部分は、４でしかありえません。

とすれば、√１７の小数部分は、√１７－４とあらわせます。

小数がわからなくっても、大丈夫です。
もしかしたら、私の上の解答のｂの答えは、√から整数を
引いた状態で、０．２５を足しているかもしれません。
そうだったらすいませんね。

お礼

二重根号をはずす公式？をわかりやすく説明してもらい、この問題もぶじとけました。
もっと練習してをといて、力をつけようと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

bururutti-2

＞二重根号をはずす公式とかあるのでしょうか？

次の式を使って二重根号をはずす事が出来ます。

√（（ａ＋ｂ）＋２√（ａｂ））＝√ａ＋√ｂ
√（（ａ＋ｂ）－２√（ａｂ））＝√ａ－√ｂ

次の方法でこの式を導くことが出来ます。

（√ａ±√ｂ）^2
＝（√ａ）^2±２√ａ√ｂ＋（√ｂ）^2
＝ａ±２√（ａｂ）＋ｂ

すなわち、次の式が成り立ちます。

（√ａ±√ｂ）^2＝（ａ＋ｂ）±２√（ａｂ）
√ａ±√ｂ＝√（（ａ＋ｂ）±２√（ａｂ））

お礼

順を追っての説明がわかりやすく、
なっとくできました。
ありがとう御座います。

回答No.3

tomokoich

次の問題は3-√5のことかな・・？
よくわからないのでとりあえず3+√5で説明すると
√5≒2.2360・・・なのでこの場合だと整数部分aはa=3+2=5ということになります
(3+√5)から整数部分aを引いたものが小数ということなのでb=(3+√5)-5=√5-2が小数部分になります

お礼

すみません。
５/１は五分の一です。
間違えてしまいました。
お手数おかけしました。
回答ありがとうございます。

回答No.2

bgm38489

１．根号内は、６＋２√５ですね。これが、何かの平方と表せれば、それにかかる根号は外せるわけです。
（ｘ＋ｙ）＾２＝ｘ＾２＋２ｘｙ＋ｙ＾２ですが、ｘ＾２＋ｙ＾２＝６となり、２ｘｙ＝２√５となるｘ、ｙを考えます。それは、ｘ＝１、y＝√５（ｘ、ｙは逆でもよい）
だから、６＋２√５＝（１＋√５）＾２。そうすれば、それのルートだから…
２．ちょっと、整数部分、小数部分の問題がはっきりしませんが、とりあえずよくある５－√５の話で説明しますね。
５－√５の整数部分をa、小数部分をbとする。まず、√５はどれぐらいの値か。５は４より大きく９より小さい。すると、√５は２より大きく、３より小さい。すると、５－√５も２より大きく、３より小さい。すると、整数部aは２だ。小数部ｂは、５－√５－２＝３－√５
要するに、整数部分はすぐ見当がつくので、元の数から整数部分を引いたものが小数部分です。

お礼

要点を分かりやすく説明いただいたので、理解することが出来ました。
ありがとうございます。

回答No.1

tomokoich

二重根号のはずし方
(6+√20)の部分を(√a+√b)^2の形にします。そうすると外側の根号がはずれます
6+√20=6+2√5になります。
よって√a×√b=√5,(√a)^2+(√b)^2=6になるa,bを考えます
この問題だとa=1,b=5になります
よって(√1+√5)^2=(1+√5)^2になります
これで√(1+√5)^2=1+√5になります

お礼

簡潔に説明してくれたので、分かりやすかったです。
ありがとう御座います