ブラケット

質問

量子力学のブラケットについて質問します。
ある本では、演算子Aの行列要素の計算のさい<φ｜Aψ>というように表記していて、それは
積分で表示すると∫φ*Aψdτに対応するようなので、これは<φ｜Aψ>においてAはψにしかかからない
と解釈しております。ところが、大学の講義で「演算子は行列だからケットベクトルにもブラベクトルにも
かかる」と言っているのを聞き、よく分からなくなっております。A｜ψ>=a｜ψ>というのはよく目にするのですけど<ψ｜Aというのは何なのでしょうか？ブラベクトルがよく分かりません。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

線型代数の言葉に置き換えると
|ψ>：ベクトルx
<ψ|：ベクトルxの転置の複素共役(x†と書くことにします)
演算子Ａ：行列Ａ
のように対応します。

＞大学の講義で「演算子は行列だからケットベクトルにもブラベクトルにもかかる」
線型代数の言葉でいえば、行列は、縦ベクトルにも、横ベクトルにもかかる、といっているだけです。(縦ベクトルには左から、横ベクトルには右から、という違いはありますが)

つまり、線型代数で、x†Ａyというものを、(x†A)yと捉えてもx†(Ay)と捉えてもよかったように、<φ|A|ψ>を<φ|(A|ψ>)と捉えても(<ψ|A)|ψ>と捉えてもいいんですね。

線型代数でx†Ａ＝(Ａ†x)†であったのと同様に、<φ|Ａ＝(Ａ†|φ>)†となります。従って、<φ|A|ψ>=∫φ*(Aψ)dτ=∫((A†φ)*)ψdτとなります。

もうちょっと高級(?)な説明をするとしたら、
任意のψに対して、<φ|A|ψ>=<φ'|ψ>となるような<φ'|が<φ|A
という事になります。

お礼

御回答ありがとうございました。
ということは、行列要素とは行ベクトル×行列×列ベクトルのことだと思えばよいのですね.

私は、演算子というのは微分とかも含んでいるから、
<φ｜A｜ψ>が左にもかかるなら「微分をどうやって右から左にかけるのか」と思っていたのですけど、
＜＜、<φ|A|ψ>=∫φ*(Aψ)dτ=∫((A†φ)*)ψdτ
これで納得いたしました。ただのφAψというものがあったとして、
微分等含んだAが左にかかるということはできないけど、<φ｜A｜ψ>ならば行列だから左にもかかることができ、Aがφにかかるということを積分で実行しようとしたら∫((A†φ)*)ψdτとすればいいということなんですよね？

大変わかりやすい回答ありがとうございました、非常に参考になりました。