期待値の計算

質問

量子力学においてブラケット表示を用いて
<ψ|H-E|ψ>=0
という変分原理を用いたものがあると思います．

ここで，ψ=Qψ1　（Qは演算子）

として<ψ|H-E|ψ>=0を具体的に計算すると

∫Qψ1・(H-E)・Qψ1dx=0

となると思いますが，このとき積分の中身はどのような順序で計算すればよいのでしょうか．

候補として二つあげられると思います．
(1)(H-E)・Qを先に計算してこれをψ1に演算する．
(2)Qψ1を計算してから，これにさらに(H-E)を演算させる．

このどちらなのでしょうか．ちなみに，両方試しましたが二つとも異なる答えが出ました．

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

<ψ|H-E|ψ>=0ではなく、
変分原理というんですから、
δ[<ψ|H-E|ψ>]=0ではないですか？

<ψ|H-E|ψ>=0を具体的に計算すれば、
∫(Qψ1)^*・(H-E)・Qψ1dx=0ですね。

>>(1)(H-E)・Qを先に計算してこれをψ1に演算する．
>>(2)Qψ1を計算してから，これにさらに(H-E)を演算させる．

どっちでも結果は同じはずです。ただし、（１）で計算する場合は、
(H-E)・Qは演算子だということを忘れずに。

お礼

ありがとうございます。No.1の方のところでも書いたのですが、(1)と(2)の具体的な計算は

(1)　(H-E)Q=d^4/dx^4-2-x^2*d^2/dx^2+x^4+E*d^2/dx^2-E*x^2
をψ1に演算する。
(2)　Qψ1=(2*a-4*a^2*x^2+x^2)*ψ1
にH-Eを演算させる、で正しいのでしょうか。

回答No.3

eatern27

>(H-E)Q=d^4/dx^4-2-x^2*d^2/dx^2+x^4+E*d^2/dx^2-E*x^2
>これを演算すればよいのだと思います。

-d^2/dx^2 x^2
の項が抜けてます。

回答No.1

eatern27

>量子力学においてブラケット表示を用いて
><ψ|H-E|ψ>=0
>という変分原理を用いたものがあると思います．

これのどの辺りが変分原理？？
まぁ、質問とは関係なさそうだから気にしなくていいのかな。

>このとき積分の中身はどのような順序で計算すればよいのでしょうか．
どういう順番でも構いません。
というより、順番を気にしなくていいように、2つの演算子の積(今の場合で言えば(H-E)Qという演算子)が定義されています。

>ちなみに，両方試しましたが二つとも異なる答えが出ました．
計算ミスしたか、もしくは、計算方法に間違いがあるか、どっちかですね。

お礼

ありがとうございます。No.2の方が書いてくださったようにδ[<ψ|H-E|ψ>]=0が変分原理でした。勉強不足でした。

さて、この問題ですが、実際のところ自分で何度も計算してみましたが、答えは同じになりませんでした。

具体的には一次元調和振動子の話で

H=Q=-d^2/dx^2+x^2
ψ1=exp(-a*x^2)

です。(1)のほうが計算が容易なので(1)の方法で行いますと

(H-E)Q=d^4/dx^4-2-x^2*d^2/dx^2+x^4+E*d^2/dx^2-E*x^2
これを演算すればよいのだと思います。

(2)の方法では、まず
Qψ1=(2*a-4*a^2*x^2+x^2)*ψ1
となり、これにH-Eを演算すればよいのだと思いますが、この二つのでは計算結果が異なってしまいます。(1)の方法のほうが計算が容易なのですが、これは単に私の計算ミスで済ませてよいのでしょうか。