【量子力学】エルミート共役と複素共役など

質問

量子力学が相変わらず難しすぎて、どこがわからないのかわからないという状況なのですが、
少し糸口になりそうな部分がわかったような気がするので質問させて頂きます。

複素共役を考えると、ブラケットでは、例えば
　（１）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*　＝　＜φ｜Ａ^†｜ψ＞
となり、同じものを波動関数の式では
　（２）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａψdx　（全空間で積分ということでdxとしています）
のように書かれると思うのですが、エルミート共役はどのようになるのでしょうか？
　（３）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝　？
　（４）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^†　＝　？
という意味です。
私が今思っていることとしては、「内積をとった（ブラケットが閉じた）もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか、などと考えているのですが…。また逆に、
　（５）　｛Ａ｜ψ＞｝^†　＝　＜ψ｜Ａ^†
　（６）　｛Ａ｜ψ＞｝^*　＝　？
という疑問や、更にこれを波動関数の式（(2)みたいな式のことです。何と呼ぶのかわからない…。）で書くとどうなるのか、
などなど、もう何も分かってない気がしてきます（＾＾；；

とりあえず質問は上記の通りなのですが、（２）のような表記の意味がどうにもよくわからっていないというのが正直なトコロです。。
ブラケットなどの行列力学のような書き方は比較的しっくり来るのですが…。
波動関数というもの自体が、「関数だからベクトルじゃないの？？」とか、
「順序とか関係なく、[ψ,φ]＝０でいいの？？」とか…。もうなんだか混乱しすぎ…orz
という感じなので、どうかお救い下さい。

恐らく質問文が既にいろいろ間違ってたりするのでしょうが、何とか汲み取ってご教授くだされば幸いです。
いろいろ質問が多くなってしまいましたが、よろしくお願い致します。

回答No.8

Akira_Oji

Akira_Oji の　No.3　補足質問にたいして、
もう、Dirac　の本を読み始めておられるので、だいじょうぶだと思いますが、念のため。

離散状態（例えば、束縛状態のエネルギー、E＿i、｜i>）の場合

Σ｜i><i|=1

となるのに対して運動量ｐや座標ｘ（それに自由粒子のエネルギー）のような連続状態の場合は、

∫｜ｐ＞ｄｐ＜ｐ｜＝１
のようになります。ｄｐを真ん中に挟んだのは、簡便的ですが、両側にブラやケットが掛けられるのを前提にしていますので、じゃまにならないようにそこにあります。

さて、これを利用すると次のようなことが簡単になります。（以前のあなたの疑問点がより明確になる。）

二つの波動関数、ｇ（ｘ）とｈ（ｘ）がブラとケットで次のように与えられる：
ｇ（ｘ）＝＜ｘ｜ｇ＞
ｈ（ｘ）＝＜ｘ｜ｈ＞
これより
｛ｇ（ｘ）｝＾＊＝＜ｇ｜ｘ＞
（これの意味するところは置いておいて）

以前のあなたが問題にしていた波動関数による積分は
∫｛ｇ（ｘ）｝＾＊・ｈ（ｘ）ｄｘ
＝∫＜ｇ｜ｘ＞＜ｘ｜ｈ＞ｄｘ
＝∫＜ｇ｜ｘ＞ｄｘ＜ｘ｜ｈ＞

ここで∫｜ｘ＞ｄｘ＜ｘ｜＝１を使って取り去れば、上式は

＝＜ｇ｜ｈ＞

となります。すなわち、

＜ｇ｜ｈ＞＝∫｛ｇ（ｘ）｝＾＊・ｈ（ｘ）ｄｘ

これでブラ・ケット方式と波動関数の積分方式がつじつまがあっているわけです。＜ｇ｜ｈ＞と書いているうちは座標で考えているか、運動量で考えているかによりませんので

＜ｇ｜ｈ＞＝∫｛ｇ（ｐ）｝＾＊・ｈ（ｐ）ｄｐ

ともなります。（ただし、関数形がちがいますが。）

｛ｇ（ｘ）｝＾＊＝＜ｇ｜ｘ＞
これの意味するところは、もうお分かりと思いますが、ｘ（ｇ）ではありません。しいて言うならば、ひとつの状態ｇを表すのに、二つのヴェクトル空間（双対空間）があり、ひとつはケット｜ｇ＞もうひとつはブラ＜ｇ｜で表されるが、ｘの関数として表したときにはひとつはｇ（ｘ）になりもうひとつは複素共役｛ｇ（ｘ）｝＾＊になります。

お礼

またまたご回答ありがとうございます。
丁寧に説明して頂き、波動関数の表現も大分理解できてきました！
さて、
　∫|p>dp<p|　＝　∫|p><p|dp
で良いということでしょうか。
　∫f(x)　dx　g(x)　≠　∫f(x)g(x)　dx　＝　∫dx　f(x)g(x)
だと思うのですが、今回はただ便宜上の表現ということなのでしょうか？

＜ｇ｜ｘ＞＝ｘ（ｇ）　については納得しました。

また質問で恐縮ですが、よろしくお願い致します。

回答No.7

Jyaikosan

＞同じものを波動関数の式では
　（２）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａψdx　（全空間で積分ということでdxとしています）
のように書かれると思うのですが

これは違うと思います。（１）を波動関数で書くと
｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａ^†ψdx
です。（２）の右辺が成立するのはＡがエルミート演算子Ａ^†＝Ａのときだけです。

＞「内積をとった（ブラケットが閉じた）もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか

別におかしくありませんよ。エルミート共役をとるということは行列を転置して複素共役をとることですから、
内積をとったもの＝複素数＝1×1行列とみなせてエルミート共役＝複素共役となります。
＜ψ｜Ａ｜φ＞も∫ψ^*Ａφdxも複素数ですから
（３）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*
（４）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^†　＝｛∫ψ^*Ａφdx｝^*
となります。

｜φ＞を縦ベクトルとみなせば＜φ｜は｜φ＞の成分の複素共役を成分に持つ横ベクトルとみなせます。
ベクトルを行列の一種と考えれば上で述べたことは{｜φ＞}^†＝＜φ｜ , {＜φ｜}^†＝｜φ＞と表わせます。
2個の行列の積のエルミート共役は個々の行列のエルミート共役をとって積の順番を変えればよいので
（５）　｛Ａ｜ψ＞｝^†　＝　{｜ψ＞｝^†Ａ^†　＝　＜ψ｜Ａ^†
です。再び（３）を今度は3個の行列の積のエルミート共役と考えて計算してみましょう。
（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝ {｜φ＞}^†Ａ^†{＜ψ｜}^† ＝ ＜φ｜Ａ^†｜ψ＞
ここで再右辺の＜φ｜Ａ^†｜ψ＞は（１）より（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*　に等しいのですから結局
(＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝ （＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*
となりますが、これは先ほど内積のエルミート共役で得られたものと一致しています。

最後の
　（６）　｛Ａ｜ψ＞｝^*
はこの形のままでいいのではないでしょうか。無理に変形する必要はないと思います。

No.5さんが<ψ|Ａ|φ>の形を気になさっていますが問題はありません。
例えばＡが時間発展演算子の場合を考えてみてください。
状態|φ>が時間の経過とともに状態Ａ|φ>になります。
これが状態|ψ>になっている確率振幅が<ψ|Ａ|φ>ですから、
<ψ|Ａ|φ>という形は明確な意味を持ちます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａ^†ψdx
はい、これは完全に†を忘れてました。失礼しました。
閉じたブラケットはもうベクトルではなく、複素数として扱えるということを考えれば、
そのエルミート共役が複素共役になるというのも素直に納得できますね。

最後の（６）は、わかってしまえば、確かにかなり意味のない問ですね。
　A^*(|ψ>)^*
となるだけですね。

＜ψ｜Ａ｜φ＞の回答も、本当にどうもありがとうございました。

回答No.6

morimot703

No５の訂正
最後の１行は、無視して下さい（不正確な記述です）

また「始状態と終状態が違う期待値」はまずい　
というのは、僕が、そう思うだけで、強い根拠はありません。

回答No.5

morimot703

No4　の補足
２で、A＝Σf(a)|a><a|　としたのでは、１の|a><a|とごっちゃになって、
混乱しますね。
すいませんが、
２は、A＝Σf(b)|b><b| とでもして、１を追って下さい。

あと、<ψ|Ａ|φ>　ということは、「始状態と終状態が違う期待値」
という意味でしょうか？
「弱い測定理論」でも扱うのでない限り、
普通の定式化では、これはまずい　です。
何故なら、終状態が違う確率は足しても意味ない　からです。

お礼

＜ψ｜Ａ｜φ＞　へのご指摘ありがとうございます。
実はこの部分は、質問文に堂々と書いておきながら、自分で全く意味がわかっていませんでした。
Ｎｏ７さんのご指摘でこの疑問も氷解できました。
ありがとうございました。

回答No.4

morimot703

状態ベクトル|ψ>と、射影演算子、それから導かれる　波動関数ψ(x)　とを
体系的に説明してある教科書（例えば　清水明「新版　量子論の基礎」）を
読まれるとよいと思います。
とりあえず、（２）のような表記の意味を説明します。
（説明を簡単にするため、質問のAは、省きます）
１．
天下り的ですが、|a><a|と言う演算子は、一般に、ベクトル|ψ>の|a>への成分を抜き出すことになります。
証明：　|a><a|ψ>＝|a>ｆ(a)＝ｆ(a)|a>
それで、|a><a|と言う演算子を、射影演算子と呼びます。
したがって、|ｘ><ｘ|ψ>＝|ｘ>ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)|ｘ>　です。
この場合のｆ(ｘ)が、波動関数ψ(x)　ということです。
両辺の|ｘ>は、共通ですから、
<ｘ|ψ>＝ｆ(ｘ)＝ψ(x)　です。
で、射影した結果を全て足せば、元に一致しますから、
|ψ>＝Σ|ｘ><ｘ|ψ>＝∫dx ｆ(ｘ)|ｘ>　　　　ー　極限で一致
両辺に<ψ|を掛ければ、<ψ|ψ>＝１＝∫ｆ(ｘ)<ψ|ｘ>
＝∫dx ｆ(ｘ)　<ｘ|ψ>†＝∫dx ｆ(ｘ)ｆ*(ｘ)
＝∫dx ｆ(ｘ)*ｆ(ｘ)
これが、（２）のような表記です。
２．
質問の＜ψ｜Ａ｜φ＞は、、、
演算子がエルミート演算子であれば、完全系をなすので、
一般に、その固有ベクトル|a>の　|a><a|　で展開できます。
（清水明「新版　量子論の基礎」ｐ57）
つまり、A＝Σf(a)|a><a|
これで、１を順に追っかけて行けば、わかると思います。

で、
　（３）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝　？
　（４）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^†　＝　？
ですが、＜ψ｜Ａ｜φ＞は、ただの数値関数つまりスカラーです。
また、　∫ψ^*Ａφdxは、ただの数値つまりスカラーです。
したがって、｛スカラー}^　は、ベクトルの意味ですね。
だとしたら、その　転置ベクトル　になるだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「量子論の基礎」はちょうど友達が読んでいて、
＞したがって、|ｘ><ｘ|ψ>＝|ｘ>ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)|ｘ>　です。
＞この場合のｆ(ｘ)が、波動関数ψ(x)　ということです。
の部分は友達にも教えられたのですが、その時は全然意味がわかりませんでした（＾＾；；
しかし、今読んだら大体イメージがつかめたような気がします。
その本に「状態ベクトルと波動関数は、（基底をひとつ固定したとき）完全に一対一に対応し」とあるので、
どちらも完全に同じ情報を持っているのですね。
実はこれがかなり解せなかったポイントで、何となくなのですが、
スカラーを返す関数は、（成分を３つとか持つ）ベクトルより絶対に情報量が少ないはずだ、
というイメージがあって、どうしても腑に落ちないという感じがしていたのだと思います。

さて、質問なのですが、
＞したがって、｛スカラー}^　は、ベクトルの意味ですね。
＞だとしたら、その　転置ベクトル　になるだけです。
という部分がよくわからないのですが。。。
｛スカラー}^は†が抜けたのでしょうか。しかし、それがベクトルの意味とはどういうことなのでしょうか？
スカラーのエルミート共役は、結局複素共役と等しく、やはりスカラーである気がするのですが。。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

Akira_Oji

回答者Ｎｏ．１　ａｎｄ　２のＡｋｉｒａ＿Ｏｊｉです。ちょっと、間違ったことを書いてしまったのでＤｉｒａｃやその他の教科書をみて、詳細部を直してもらえればいいのですが、間違っていた部分は以下の通り

間違い「運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合は
＜p｜g＞＝ｇ（ｐ）＝A*Exp｛ｊ(p-p')｝
のような平面波の形になります。」

訂正「運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合の運動量表示での波動関数は
＜ｐ｜ｇ＞＝Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
ですが、
運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合の座標表示は、
＜ｘ｜ｇ＞
＝Ｉｎｔｅｇｒａｌ　＜ｘ｜ｐ＞ｄｐ＜ｐ｜ｇ＞
＝Ｉｎｔｅｇｒａｌ＜ｘ｜ｐ＞ｄｐ　Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
＝＜ｘ｜ｐ’＞
＝ＡＥｘｐ（ｉｐ’ｘ／ｈ’）］

ここで〔２行目で）
Ｉｎｔｅｇｒａｌ　｜ｐ＞ｄｐ＜ｐ｜
はＵｎｉｔｙ＝１で＜ｘ｜と｜ｐ＞のあいだに挿入できます。また、
＜ｐ｜ｇ＞＝Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
を使いました。また、４行目でＤｅｌｔａ関数の性質を使いました。最後の行では証明抜きに書きましたが、運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞は座標表示で平面波になる、ということでＤｉｒａｃの本では説明されています。ｈ’はｈバアー（Ｄｉｒａｃ定数）ｈ/2Piのつもりです。ここで興味あるのは、１行目と４行目をみれば、＜ｘ｜ｇ＞＝＜ｘ｜ｐ’＞、すなわち状態｜ｇ＞は状態｜ｐ’＞と同じで運動量ｐ’で指定される状態になっています。」

以上

お礼

追加で御説明ありがとうございます。

ディラックの本を少し読んだことでかなり理解が進みました。
ブラケットが閉じると、それはもうただの複素数であるということが最大のポイントで、わかってないところでした。
さて、あとは波動関数の表現の方ですね。。

さらに質問になってしまうのですが、
No２で、
　｛f(x)}^* = {<x|f>}^* = <f|x> = x(f)
となると思うのですが、このｘ(ｆ)ってなんなんでしょうか？
考えなくとも良いという気がすごくしますが、なんだか気になってしまって…。
また、上の式の両端をみると、関数の複素共役をとったら、関数と引数が逆転するということになってますが、
これはどう解釈すればいいのでしょうか…？

あとNo３で、
　∫|p>dp<p| = 1
がありますが、これがどうしてもわかりません。直交完全系をなす｜ａ＞を用いて
　Σ|a><a| = 1
という式の積分形なのかと思いましたが、運動量ｐだけじゃ１にならないし、
それにｄｐがケットとブラの間にあるし…？？？

どうも勉強不足で申し訳ありませんが、回答頂ければ嬉しいです。

回答No.2

Akira_Oji

No.1回答者者のAkira_Ojiです。

基本的には、前のアドバイス以上ではないのですが。
＜ｘ｜ｆ＞＝ｆ（ｘ）
に対して
｛f（x）｝＾＊＝｛＜ｘ｜ｆ＞｝＾＊＝＜ｆ｜ｘ＞
となります。だから、ブラとケットはどちらも基本的に同じです。

また、ケット｜ｆ＞が　”状態”を表しているのに対して関数ｆ（ｘ）は状態｜ｆ＞の　x－座標表示を表します。だから、状態｜ｆ＞の運動量（ｐ）表示を表したいとき、
＜ｐ｜ｆ＞
となります。

＜ｘ｜ｆ＞が例えば　ｘ＝ｘ’に局在す粒子を表すとすると、
＜ｘ｜ｆ＞＝ｆ（ｘ）＝Delta(x-x')
のような関数になるのにくらべて、運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合は
＜p｜g＞＝ｇ（ｐ）＝A*Exp｛ｊ(p-p')｝
のような平面波の形になります。

Diracの本、頑張ってください。

補足

皆様ご回答ありがとうございます！！
気づいたら回答がいっぱい付いていてビビりしました（＾＾；；
そして申し訳ないのですが、今かなり忙しくて
ゆっくり読んで検証する時間が、多分木曜くらいまで取れないので、返答が遅くなります。
申し訳ありませんがご了承ください。

あ、今日ディラックの量子力学図書館で借りてきました。漢字が矢鱈難しい（笑

回答No.1

Akira_Oji

私にとっても、量子力学は難しいものですが、数学的な部分はまだましで、概念的な部分のほうがむしろ不可解でしょう。
もしも、あなたがＤｉｒａｃのブラ・ケット記法がしっくり来るのであれば、ブラ・ケットと波動関数との関係が分かれば理解が進むかと思われます。あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。例えば、座標ｘによる波動関数とブラ・ケット表記のあいだには
＜ｘ｜ｆ＞＝ｆ（ｘ）
のような関係があります。
最初は読みにくいかも知れませんが、Ｄｉｒａｃの「量子力学」には非常に論理的にブラ・ケットの導入と波動関数との関係が記述されています。最初の３章を頑張れば、あなたの疑問は明らかに解けると思います。結局、それが一番の近道だと思います。

お礼

嗚呼量子力学ってなんでこんなに難しいんでしょうね～（＾＾；；
＞あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。
私が読んだ本では、かなり初めの辺りでブラケットを導入して、それからずっとブラケットで書かれていたので、
波動関数にはほとんど慣れていないという感じですね。。。
波動関数はなんだか抽象的すぎて…。数学の解析学が苦手なのでどうにも扱いづらいです。
＞　＜ｘ｜ｆ＞　＝　ｆ（ｘ）
う～ん、どこかで見たことあるような、ないような…。
この式を見ると、ブラとケットには、双対関係以上にもっと厳然たる違いがあるような気がします。（実際あるのかな…）
ケットが状態ベクトルで重要で、ブラはそのおまけみたいな…。うーん。。。

なるほど、確かにディラックがブラケットを導入した経緯を見れば少しは理解が進みそうですね。
ディラックの量子力学見てみます。

ご回答ありがとうございました。