• 締切済み

ブラ・ケット演算法がすべての物質波を表すか否か

 私は量子力学のブラ・ケット演算法には、複素数平面上に取り扱える領域と取り扱えない領域がある。したがってブラケットで表せない物質波や物理現象があると考えています。ブラケット演算法だけですべての現象を表せるでしょうか、表せないでしょうか。どちらでしょう。    ブラケット演算法は、物質波を解いているはずですが、連立方程式がエルミート行列に変形できることを仮定したり、ボゾンの正準交換関係、フェルミオンの反交換関係のどちらかが必ず成り立つと特殊な条件を課している。ボソンとフェルミオンはどちらも特殊な性質をもっているので、どちらについても一般的な量子や物質波とはとても思えない。  ブラ・ケット演算法では第1にエルミート行列であることが必須でした。第2に生成消滅演算子の交換関係がボソンとフェルミオンのどちらか一方であることも必須でした。ブラ・ケット演算法では第1と第2の条件が同時に満たされた時に成り立ちます。  ブラ・ケット演算法の対象の方程式には2つの条件があり、エルミート行列であることにつけくわえ、ボソンとフェルミオンのどちらか一方であることを満たしていなければならないのですから、複素平面の特別な小さな領域の中にある関数と方程式、その解の集団にすぎないのです。物質波の複素平面を考えると条件を満たさない領域のほうがはるかに広いはずです。だからブラ・ケット演算法で得られた解は、ほんの一部の方程式の場合だけと私は思うのです。  そしてボソンとフェルミオンは運動量p、座標qからできた演算子の正準交換関係が求められています。それらは量子の運動やエネルギーを表す属性です。だからブラ・ケット演算法では質量、個数、エネルギー、運動量が数式の右辺、左辺に等しく、時間を含む関数では時を隔てても変化が起きず、保存されているはずです。  ところが、アインシュタインの E=mC^2 の質量とエネルギーの変換現象がおきれば、量子は個数、質量を失いエネルギーを得たり、エネルギーを失い個数、質量を得たりおきるので、量子の属性(質量、個数、エネルギー、運動量)がある基準時点を挟んで変動します。  そのときには基準時の前後では属性の数値が異なり、同一値ではないから量子力学の方程式は基準時の前後を分けて連立方程式を立てるように考え直さねばならないでしょう。  おなじことが相互作用のある多数量子が集団となっている系に一部の量子だけに起きればどうでしょう。基準時の前後も分けられず、このような時にはブラ・ケット演算法では一気に書き下せぬはずです。  このような質量とエネルギーの変換現象ではブラケット演算法は万能ではありません。 そのような難しい現象が、周知ではありませんが実際に自然界にも人工にも起きているのです。そして物質波は複素数の関数でできている様子が、円偏波の光線のあることからわかります。交流回路で回転ベクトルの表現をして、複素数領域の方程式を立てねばならなかったように円偏波もマクスウェルの方程式に複素数の関数で方程式を立てねば表現できないことでしょう。そのことからブラケットが万能な解法でないと判断できます。この推論に誤謬があるでしょうか。

みんなの回答

  • leo-ultra
  • ベストアンサー率45% (228/501)
回答No.2

すみません。ご議論がよくフォローできていません。 1)エニオン統計 > 素人にもわかる情報をすみませんが教えてください。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%83%B3 (文字化けするようでしたら、日本語Wikipediaで、エニオンと検索下さい。) 「二次元の系においては、フェルミ・ディラック統計およびボース・アインシュタイン統計の間を連続的につなぐ統計に従う準粒子を観測することができる。」とあります。 残念ながら、これ以上の知識はありません。 2)繰り返しで申し訳ありませんが、 古典物理学で理解させる現象: Maxwell方程式からの円偏光、電気の交流などは  そもそも円偏光でも電場はベクトル量。  複素数スカラーを導入すると便利なだけで、実体は実数ベクトル量。 量子力学:  波動関数は複素数でもよい。波動関数は物理量ではない。(こう言いきっていいのかな?)  物理量である存在確率は、波動関数に複素共役をかけるので、常に実数。  物理量は実数であって欲しい。そうでないと古典論との対応が取れない。(量子力学の対応原理) 相対論が入ってくる場合:  そもそも私はDirac方程式を理解しておりませんので、よくわかりません。 3)>エルミット行列でなくても、一部、実数を固有値にもつ行列はあるはず。 おっしゃる通りだと思います。でも、複素数の固有値が出てきた場合は、どうしますか? 複素数の物理量ってどう理解していいかわかりません。    

bbgoogoo
質問者

お礼

丁寧な解答をいつもくださりありがとうございます。  回答#2に対する補足追加質問を「この回答へ補足」欄に書き込みました。できましたらこれにも目をお通しいただけるとありがたいです。    回答#1で「>通常はこの2つ(ボーズ統計かフェルミ統計)しか使わないから、そういう条件を課しているだけで、拡張は可能だと思います。」と回答をいただきました。  多くの物理学者たちは2つ以外ない、ブラケットだけで解けると、思い込んでいるようなので、それをどう打ち破ったら拡張をより広くさせる、私の研究発表の道が開けるのか思案しています。何を述べたら彼らは理解してくれるのでしょうか。  なにをどのように述べたら理解されるか知ることが、私の質問の隠れた目標です。

bbgoogoo
質問者

補足

leo-ultra様いつもご回答くださってありがとうございます。 >すみません。ご議論がよくフォローできていません。  お付き合いが始まったばかりで、私の込み入った質問にいきなり飛び込んだのですからごもっともです。10年分の思索の末の話で込み入ってます。  実はまだ隠した目標があって、その踏み台にブラケットの否定もしくはエニオンなどの拡張の余地を確かめたかったのです。もっともエニオンは私には初耳でした。 1)エニオン統計 ウィキペディアのアドレスをご親切にありがとうございます。早速みてみました。興味を持ち始めました。難しいですね。エニオンは3次元にはなく、2次元平面のたぶん結晶面での存在なんでしょう。拡張できる物質波や量子が3次元に欲しいのですが、探してみたいです。 2)古典物理学で理解させる現象: Maxwell方程式からの円偏光、電気の交流などは  そもそも円偏光でも電場はベクトル量。  複素数スカラーを導入すると便利なだけで、実体は実数ベクトル量。  観察値に複素数がなく現象はいつでも実数値が観察され瞬時値の変動の波の変動を見る時(シンクロスコープの画面上の波動曲線)も、やはり実数ですね。先生も学校で電気現象は実数領域だといったのを覚えています。  ところがです、数学を深めてみると方程式が解けるためには実数の世界では不足していることを知りました。  電気現象の方程式は幾つかの形式に種類がきまるので、答えのないことはありません。実験すれば電気現象の不定なこと、方程式と異なる結果がありません。  先生に従うなら電気現象の方程式は実数世界で解けるべきですが、数学的にそうではないので矛盾です。実数は複素数世界のような代数的閉体ではないのです。ならば電気現象の方程式は実数の世界の方程式ではなく、複素数の世界にあるはずです。  そして任意の代数方程式が解ける = 代数的閉体が複素数の世界(複素平面)に証明されています。電気現象の方程式は複素数の関数でなくてはならない。  そして電気理論はオイラーの方程式に複素数を含んだ関数を用いることでやっと解くことができるのです。  ただし電気理論は1回路中に単一周波数を計算する事しかできません。人為の現象では、受動素子、線形回路ばかりで、非線形回路はわずかにスイッチしか使わないので、いつも単一周波数になるのですが、回路の中にはたとえばJBジョンソンの真空管回路でショットキノイズと1/fノイズを観測したように複数の周波数が同時に発生することもあります。  電気理論の回転ベクトル2本で複素面1枚を張りますが同じ平面に異なる周波数の回転ベクトルは含めません。しかしジョンソンのショットキノイズには毎周波数成分一つずつにひとつ、独立した複数の複素平面が必要です。  交流電気理論の一つの複素平面なら、虚数がなくとも、-1がうまれても無視できる方程式なら実数世界の連立で計算可能かもしれませんが、ジョンソンのショットキノイズには適用が不可能です。    実際の現象では2か所別経路からの同一周波数波動信号間の位相差を、複数の周波数に考えるためには必要になるはずです。円偏波では2本のベクトルの位相差と同一周波数と、前進速度の一致が必要になります。もしかすると実数世界の方程式の連立でもできるかもしれぬ境界領域だとおもいます。 >量子力学: 波動関数は複素数でもよい。 賛成です。 >波動関数は物理量ではない。(こう言いきっていいのかな?)    反対です。どうやら私は1/f現象という連続周波数スペクトラムの現象に実存の複素数の物質波を見つけてしまったらしい。(これが質問の動機、証明する事が目的だったのです。)  実証の実例として外村彰氏のたった1個の電子が作った電子線干渉の実験があります。1個の電子にはたった一つの経路とたった一つの確率しかないので、もしそれが干渉すると干渉の原理に矛盾です。  ところが実存する複素物質波が2経路を通って和差干渉したと考えると、一気に解決するので確率論よりも優れています。 >物理量である存在確率は、波動関数に複素共役をかけるので、常に実数。 ボソンとフェルミオンではおっしゃる方法で行きましょう。でも世界にはボソンとフェルミオンしかないのかな。ボソンは超電導という特殊な状態の量子だった。フェルミオンは原子から飛び出てしまう不埒な電子という特殊な量子だ。どっちも異常状態。共鳴中にみえる。そんな異常は好きではない、・・ > 物理量は実数であって欲しい。そうでないと古典論との対応が取れない。(量子力学の対応原理) 気持ちとして賛成です。でもちょっと前に変わりました。気が付いていないが、みつけた現象があるので、反対です。 >相対論が入ってくる場合: 相対論を無視してE=mc^2だけをお宝として利用したい。 3)>>エルミット行列でなくても、一部、実数を固有値にもつ行列はあるはず。 おっしゃる通りだと思います。でも、複素数の固有値が出てきた場合は、どうしますか? >複素数の物理量ってどう理解していいかわかりません。 見えませんが予想はつきます。ホラに思うでしょうね。複素数の物質波が共鳴状態を作っています。  この世の全ては動物や植物を含め信じられませんが私もフラクタル階層の共鳴状態のなかにいます。階層は相転移で隔てられなかなか突き抜けることはありません。結晶、節理、森の外形、葉の形、宇宙の形、原子核の周回電子、太陽系、銀河系の形にフラクタル階層が観察できます。  階層を突き抜ける現象も人為にも、自然界にも見つけ出しました。

  • leo-ultra
  • ベストアンサー率45% (228/501)
回答No.1

別にエルミット行列でなくてもいいわけですよ。 実際、量子力学の計算ではユニタリー変換がそこらじゅうに現れるますよね。エルミットじゃないでしょう。 ただし「物理量は実数である」という要請から、物理量を表す行列はエルミットになるわけです。 つまり、ブラケット演算法(行列力学?)だけがダメではなく、シュレデンガー風の波動関数をあらわに 書く方法だって同じことを仮定していますよ。 「複素数の物理量もある」ということで、円偏光をあげられていますが、 これは2次元の実数のベクトルで表せます。 2次元の実数ベクトルより、1次元の複素数を考えた方が楽なので、見かけ上、複素数を導入している ということだと思います。 またボーズ統計かフェルミ統計しか扱えないわけではなく、通常はこの2つしか使わないから、そういう条件を 課しているだけで、拡張は可能だと思います。(分数量子ホール効果で、ボーズでもフェルミでない、 エニオン統計というのがあるが、それを参照されたらいかがでしょうか?)

bbgoogoo
質問者

お礼

ご回答ありがとう

bbgoogoo
質問者

補足

leo-ultra様 さらに教えてください。理解を深めたいと願います。 >通常はこの2つ(ボーズ統計かフェルミ統計)しか使わないから、そういう条件を課しているだけで、拡張は可能だと思います。  柔軟なお考えをお持ちで敬服します。拡張してみたいと思います。ところが今私の近所にいる物理学者たちは2つ以外ないと頑固に思い込んでいるようなので、それをどう打ち破ったら道が開けるのか思案しています。証明できれば証明したい。 >量子力学の計算ではユニタリー変換がそこらじゅうに現れます。 私の知識では、エルミート行列Aを対角化するために、ユニタリー行列を利用し、行列Aの対角成分に 実数が得られる。というのはわかります。それ以外に出番があるなら・・(教えてください)  ここで市井の素人なんでいいかげんですが >「物理量は実数である」という要請から、物理量を表す行列はエルミットになるわけです。 というところも存じています。確かにエルミットの場合なら、対角要素がいつも実数になれるでしょう。  しかしながら。エルミート行列以外の行列の場合でも対角要素の一部または全部に実数を示すのではないかと私は疑います。これが前回の疑問の本題です。  さらには物理現象のある場合には、観察値が複素数の実部なのかもしれない、中にはそんなのがあると思うのです。これを問い、できれば証明をみたい。 >ブラケット演算法・・シュレデンガー風の波動関数・・だって同じことを仮定していますよ。 正準交換関係とかかな? もし正準交換関係ならば、質量エネルギー等価交換が現象に含まれていると、表し切れていますか? アインシュタインの質量エネルギー等価 E=mC^2 のおきた時点を現象の中に内包しているとどうなるんでしょう。p、q、質量、量子の粒子数が、最初の量子と核融合、核分裂のあとさきで変わるのですから。 >「複素数の物理量もある」ということで、円偏光をあげられていますが、これは2次元の実数のベクトルで表せます。  ベクトル2本で回転を表せるのはたとえば、電気交流理論の回転ベクトルも偏光のように回転を表現した事例です。回転ベクトルは2次元複素平面中の2本のベクトルで、ある単一周波数の振幅と位相を表します。ただし一つの回転を表すためにそれ用の複素平面が必要です。電気交流理論ではただ一つの周波数で回転する1種類だけが表現の対称なのでただ一つの複素平面で表現できます。ところが量子力学では・・  円偏光もこのようにあらわされる以外方法はないでしょう。回転ベクトルでは周波数fと、振幅Aと、位相ωを複素平面上のベクトル2本で表します。ベクトルの要素はおっしゃるように実数で表すのですが、回転ベクトル2本の数学的内容は、複素数のオイラーの指数関数です。  複素数のオイラーの指数関数はA(cos ωt +isin ωt)ともかけ、2次元の実数のベクトルで用が足ります。ですが、回転ベクトルにはまだ変数のfとtはあらわには表し切れません。  さらに2次元の実数のベクトルには重要な不足があります。複素数のオイラーの指数関数が表せるのはただ一つの単一周波数です。  ところが量子力学の方程式には複数の振動数があるため直交関数Ψの項が無限数あり、それらの級数になるはずです。2次元の実数のベクトルでは、独立であるべき複素平面を複数に重ねて表現できないので量子力学には適用が不可能です。  複素数は任意の代数方程式が解ける = 代数的閉体なので、ただ一つの複素平面上だけでシュレディンガー方程式は解けなくてはおかしいのです。  現象を周波数分析してみると輝線単独ではなくて、連続スペクトラムがグラフに表れる。しかも連続スペクトラムのそれぞれで円偏光のような状態になると、2本のベクトルではお手上、たとえ対角化した後でも対角要素が実数に限られていては、解析不可能です。 >エニオン統計 素人にもわかる情報をすみませんが教えてください。

関連するQ&A

  • エルミート行列以外にも固有値が実数になるか

    http://okwave.jp/qa/q8156118.html に「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」ことが証明されていました。 その内容の逆「実数の固有値をもつ行列はすべてエルミートである」は真でしょうか。 すくなくとも「エルミート行列以外にも固有値が実数になる」と言えれば、事例があれば、「エルミート行列の固有値は必ず実数になる」は真ではなく偽となるでしょう。 偽が明確になるとブラケット演算に偏りがちな量子力学に新たな発展の道が生まれると思います。複素数でシュレディンガー波動方程式の解を考えることに意義が生まれます。私はトンネル共鳴現象やエバネッセント波もそうではないかと思うのです。エバネッセント波という光子の現象がありますが、光速度が0で、あるミクロンの領域だけに明るい領域ができたり、物質に吸引や反発力を作用しています。  

  • ブラケット

    量子力学のブラケットについて質問します。 ある本では、演算子Aの行列要素の計算のさい<φ|Aψ>というように表記していて、それは 積分で表示すると∫φ*Aψdτに対応するようなので、これは<φ|Aψ>においてAはψにしかかからない と解釈しております。ところが、大学の講義で「演算子は行列だからケットベクトルにもブラベクトルにも かかる」と言っているのを聞き、よく分からなくなっております。A|ψ>=a|ψ>というのはよく目にするのですけど<ψ|Aというのは何なのでしょうか?ブラベクトルがよく分かりません。

  • 調和振動子の離散的なエネルギー固有値の出所

    量子力学では、調和振動子の問題の解法には2通りの方法がありますよね。 (1)シュレーディンガー方程式を解析的に解く方法 この方法では、エネルギー固有値がとびとびの値を持つのは、無限遠方で波動関数が0になることを要請した(束縛状態)結果だと理解しています。 (2)生成消滅演算子を用いて解く方法 位置演算子(x)や運動量演算子(p)の線形結合を取って生成消滅演算子(a)や(a*)を定義すると、エネルギー固有値は個数演算子(a*a)だけで書くことができて、その結果エネルギー固有値がとびとびの値を取ります。 (1)の方法では、境界条件が重要だったのに、(2)ではそのような境界条件を課すことなく、エネルギー固有値がとびとびの値を取るのは何故ですか?

  • 量子力学 測定値のばらつきについて

    量子力学において、物理量は観測されるたびに測定値がばらつくといううことが知られている。 そこでその平均値を<L>とし、測定値の分散を(δ<L>)^2とするとき、分散に対応する演算子は(δL)^2=(L-<L>)^2で与えられる。 したがって分散は、(δ<L>)^2=∫ψ*(δL)^2ψdVによって求められる。 (1)このとき、分散が正であることをδLのエルミート性より導け。 (2)分散がゼロにあるような状態ψLにおける固有値方程式を導け。 以上の様な問題を解こうと考えていたのですが、回答の糸口がつかめなくて困っています。自分としては、エルミート演算子を2乗した演算子から与えられる期待値は非負であることを示せれば良いと思ったのですが、それを示せず四苦八苦している状況です・・・。どなたか解法をご教授いただけないでしょうか。。。お願いいたします。

  • 量子論の計算方法

    量子論の計算において離散量で有限の場合は行列表示、連続量をあつかう場合は積分を用いて計算します。しかし一次元調和振動子の場合などはシュレディンガー方程式を変数変換してエルミート多項式をとけばエネルギーが求まりますが、この場合は消滅生成演算子を用いてH=aa*+1/2(無時限化しました)とおいてからa*を固有ベクトルにかけて計算すれば特殊関数を用いるよりもはるかに簡単にエネルギーを求めることができます。この方法は非常に便利なのですが、量子論のほかの計算(たとえば井戸型ポテンシャルや粒子の散乱等)には用いることができません。どうして調和振動子だけこの方法が適用できてほかのケースには当てはまらないのでしょうか。その理論的背景にはどのようなものがあるのでしょうか。わかる方がいらしたら教えてくれませんか。

  • 静止質量は計算できる?

    皆様よろしくお願いいたします。 原子核の質量公式について調べていたら、 ネット上で 「量子力学的に厳密に計算すれば、 原子核の静止質量を求めることができる」 と書いてあったのを見たのですが、 そうなのですか? シュレーディンガー方程式は、既知の質量を用いて エネルギー固有値を求めるためのものと思っていたのですが。 もし計算できるなら、どのようにするのでしょうか。 よろしくお願いいたします。

  • 物質の持つエネルギーの絶対値

    熱化学反応方程式を勉強しているところですが、「反応による熱エネルギーは、『反応前の物質の持つエネルギーの和』と『反応後の物質の持つエネルギーの和』の差で表される。それぞれの物質の持つエネルギーの絶対値はわからないが、物質の持つエネルギーの相対的な差がわかれば求まる。」という旨の説明を参考書等で見かけます。物質の持つエネルギーの絶対値は本当にわからないのでしょうか。正確な値を求めることが難しいかもしれませんが、質量がわかればアインシュタインの方程式E=mc^2でその物質の持つエネルギーの大まかな値が求まると考えてよろしいのでしょうか。

  • 反交換関係について

    フェルミオンの多粒子系を第二量子化する際に、 Ψ(r)=Σ_μ a_μ φ_μ(r) Ψ†(r)=Σ_μ a†_μ φ*_μ(r) と完全系として展開する作業について、自分の中でしっくり来ない部分があるので、分かる方よろしくお願いします。 1.何故Ψは場の量なのに、フーリエ変換で平面波に展開しないのか? 2.反交換関係を満たすa、a†が何故に消滅・生成を表しているといえるのか? 3.仮に2の答えが「a、a†が消滅・生成を表すような演算子となるような関数系φ、φ*で展開したから」であるならば、何故このように選んだφが、1粒子シュレディンガー方程式 H φ_μ(r)=E_μ φ_μ(r)  Hは1粒子演算子 を満たすようなエネルギーの固有関数であることが分かるのか? 4.a、a†は正準共役と言えるのか? 5.数演算子nが整数(最終的に0or1になるが)であるということはどこから導かれるのか?(a†aからは実数であることは示せても、整数であることは示せないので) ひとつでも分かるものがある方、是非アドヴァイスよろしくお願いします。

  • 素粒子は結局なにから出来ているのか、について。。

    こんにちは!質問はタイトルそのままなのですが、物質を構成する素粒子を究極まで突き詰めると、 結局何から出来ているのでしょうか。 ↓鉄をつくるのは鉄原子↓ ↓鉄原子をつくるのは電子と原子核↓ ↓原子核をつくるのは陽子と中性子↓ ↓陽子や中性子をつくるのは・・・。↓ こんな具合です。。あまり詳しくないので間違っているかもしれませんが、上のような素粒子をつくるのは クォークやボソン、中間子等があると聞いたこともあります。が、さらにそれはなにからできているのか。 ネットで調べると「エネルギー体である」とかいてありました。ですがエネルギーは元々存在しないもので、 もちろん質量も無いはずなのですが、質量0がいくら集まっても質量ある素粒子にはなり得ないと思うのです。 このような素粒子を究極に突き詰めるとなにから出来ているのか、 どなたかご教授いただけたらと思っています。よろしくお願いします。 最後に、長文失礼しました。

  • 量子力学 共役演算子がわからない

    量子力学でノートを見返していました。 ダガーやブラケットが出てきますが、概念がいまいちわかりません。 というか何がわからないのかすらわからなくて困っています。 1.<a|b>=<b|a>∗ ひっくり返すと共役複素数になるのはわかるのですが、実際どんなことを言っているのかが・・・ 2.A^|a>=<a|A^ も同じくです。 3.共役というのとエルミートというのは同じことをいっているのでしょうか?? 4.ダガーとはいったいなんなのでしょうか? 5.<a|A^|a>=<a|A^+|a>*というのは1.の性質を使っているのだろうとは想像できるのですが、どうしたらこの等式が成り立つのかがわかりません。 6.O^|a>=b|b>の共役が<b|O^+=b*<b| 7.O^† = -O^ 8.共役演算子の性質として <f|A^|g>=<g|A^†|f>*が成り立つので、 (αA^)† = α*A^† (A^+B^)† =A^† + B^† (A^B^)† =B^† + A^† (A†)†=A^ が成り立つとあるのですが、どれもなんでこうなるのかがいまいちわかりません。 いっぱいあるのですが、根本からわかっていないので、説明があると助かります。 よろしくお願いします。