漸化式での次数下げ

質問

学校の先生から漸化式の答えを求めるのに次数下げを使う方法を聞いたのですが、、、疑問があるんです。

ａ1＝１，ａn+1＝２ａn＋１　…(1)
これを漸化式の形にしたときに、
ａn+1＋１＝２（ａn＋１）＝２＾ｎ（ａ1＋１）＝２＾（ｎ＋１）
よってａn+1＝２＾（ｎ＋１）－１　…(2)
次数を下げて、ａn＝２＾ｎ－１　…(3)

この最後の行の「次数を下げて」というのをしていいのかが分かりません。
というのも、条件式(1)はｎ≧１のときの話であって、だから(2)もｎ≧１のときのコトですよね？
ということは(2)はａ2、ａ3、ａ4、・・・を示しているのであって、ａ1は示していない。
だから答え(3)は、ｎ≧２のときの話になると思うんです。
これが解でいいのかなと思うのですが、どうでしょう？

回答No.4

adinat · ベストアンサー

ａn+1＋１＝２（ａn＋１）＝２＾ｎ（ａ1＋１）＝２＾（ｎ＋１）
この式変形（正確にはｂｎ＝ａｎ＋１とおいて、これが等比数列だから、とやることになりますね）、これはすべてのｎ≧１でいえる式です。なぜなら漸化式を変形しただけだからです。であれば、第２項と最終項を２で割って、
ａn＋１＝２＾ｎ
もすべてのｎ≧１でいえるはずです。これが次数下げ（より正確にいうと「次数下げをしてもｎ≧１で成立するということ」）のいちばんの根拠です。こうしておけばａ0を考えなくてもよいし、またｎ＝１のとき別に確かめる必要もありません。

もっとまじめに書くと、このタイプの漸化式でｎ＝１の場合を別に考慮する必要のある問題はひとつもありません。つまりａ1でも成り立つというのは偶然ではなく、必然なのです。というのは、
ａ1＝ｒ，ａn+1＝ｐａn＋ｑ　…(1)
を考えましょう。ｐは０でも１でもないとしておきます。α＝ｐα＋ｑを満たす実数αを考えて、（1）の漸化式から片々引くと
ａn+1－α＝ｐ（ａn－α）＝ｐ＾ｎ（ａ1－α）＝ｐ＾ｎ（ｒ－α）
です。これはすべてのｎ≧１で成立します。ならば、先と同様に第二項と最終項をｐで割って（ｐ≠０を仮定してますから）
ａn－α＝ｐ＾（ｎ－１）（ｒ－α）
となるはずです。一見次数下げｎ→ｎ－1を行っているように見えるのですが、実はそうではなくて、単に両辺をｐで割るということをやっただけなのです。だからｎの条件がｎ≧１からｎ≧２となるようなことはおこりません。つまりｎ＝１の場合だけ一般解と違う、ということは、“決して”起こらないのです。

まとめておくと、次数下げによって、
ａn+1＝２＾（ｎ＋１）－１　…(2)
ａn＝２＾ｎ－１　…(3)
(2)から(3)を導いたとすれば、(3)はｎ≧２でしか証明したことにはなりません。したがって正確にやろうとするならば、(2)の式がｎ＝０でも成立することを別途証明するか、あるいは(3)の式がｎ＝１でも成り立つことを別途証明する必要があります。ですが、実は元の漸化式の変形をよく見てやれば、次数下げをすることなく、(3)の式がｎ≧１で成り立つことを直接導くことが出来るのです。

この事実を知っていれば、「形式的な次数下げは常にｎ≧１で正当化されている」ということになりますから、何も迷うことなく次数を下げてよいことになります。絶対１００％というようなことを僕が言い切るのはまずいですが、根拠をかかずに次数下げを行ったからといって入試で減点されるようなことはまずないと思われます。例外がある計算には根拠は必要ですが、例外のない計算には根拠が必要ないからです。

お礼

大変丁寧な回答ありがとうございます(≧ω≦)
そうか、第２項を使っただけだったんですね！それだったらもちろんｎ≧１で成り立ちますもんね(´∀｀*)なるほどなるほど。

(2)式から(3)式を「次数を下げて」で導いて解とするのは減点はされない、と。でも
「ａn+1＋１＝２（ａn＋１）＝２＾ｎ（ａ1＋１）＝２＾（ｎ＋１）」
の式を１本書いて、
「よって、ａn＝２＾ｎ－１」
と書いたほうが、第２項を２で割りました感が出て良いですかね？
あっでも、「形式的な次数下げは常にｎ≧１で正当化されている」ことになるから別に構わないのか(^_^;)
ありがとうございましたｗ

回答No.3

endlessriver

なるほどおもしろいですね。こんなことは考えなかったというか計算の最後で無意識のうちにn=1をチェックしていたのですね。

これは任意のa1にも成立するので何故かと考えてみたのですが実は
ａ(n+1)＝２＾（ｎ＋１）－１　…(2)
の式はn=0でも成立しているのです。というのは
ａ1＝１，ａn+1＝２ａn＋１　…(1)
の式はn=0でも成立しているから。というか成立するようにa0を決めたと考えれば(~、~)良いのです（問題はa0については何も言っていないので）。

お礼

回答ありがとうございます(≧ω≦)
なるほど！！勝手にａ0を考えればいいのか！
ん～～つっても、問題文に「ｎ≧１のとき」とか「ｎ≧２のとき」って指定があったときも、勝手にａ0ないしａ1を作っていいんですか？

回答No.2

pyon1956

＞答え(3)は、ｎ≧２のときの話になる

#1さんも仰ってますが、漸化式は通常初項についてはあてはならない、というか2番目の式が使えないので、通常こういう場合ちゃんと確かめた上で「a1もこの式に当てはまるので、一般にn≧1で、an=・・・・」というふうに書けと習うのが普通ですが。（もし先生がそう仰ってないならば、それは先生がいい加減なのか、あるいは教育的配慮、つまりそういう場合はあなた方には不必要（たとえば受験に数学Bを使う人は殆どいない学校であるとか）、という判断で省略したかのどちらかでしょう）

実際の所高校の教科書だと（一応n=1を代入して確かめた上で）解答には
「n=1の場合もこれは成り立っているから（ここで計算まで書く必要はない）、一般に任意の自然数nについてan=・・・」というふうに書くのが普通でしょう。

お礼

回答ありがとうございます(≧▽≦)
＞2番目の式が使えないので
えっと、、2番目の式ってどれでしょう？
俺も「ｎ＝１の場合も成り立っている」的な説明書きを書いたほうがいいのかと思うのですが、先生いわく、必要ない、と。
因みに数学Ｂはバッチリ使います(´ヘ｀;)

回答No.1

proto

次数を下げることは問題ありません。次数を下げることでn≧1という条件がn≧2に置き変わるので。

しかし最終的な解答を見ると問題がありそうです。
確かに漸化式を解いて得られた一般項がn=1のとき成り立たないような場合もあります。
そこら辺を考慮するとこの問題の解答は
　n≧2のとき　　a[n] = (2^n)-1
　n=1のとき　　a[n] = a[1] = 1
とするべきです。

しかし、n≧2の場合のa[n]にn=1を代入してみるとa[1]=1となりますよね。
なので今回は偶然ですが
　　n≧1のとき　　a[n] = (2^n)-1
と書いても問題ありません。

もし他の同じような問題を解く場合があれば、
一般項にn=1を代入してみて成り立てばまとめて書いてかまいません。n=1のとき成り立たないような問題ならばn=1のときだけ場合分けして解答しましょう。

お礼

ありがとうございます(≧▽≦)
なるほどなるほど、次数下げはＯＫだけど、ｎ≧２になってしまう、ということか。
ｎ＝１のとき成り立ってるのを確認できたら、答えはまとめて書いちゃっていいんですねヽ(*￣▽)ρ～ф
成り立っていなかったら別に書く、と。
ありがとうございました～(´∀｀*)