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代数

自然数m、任意の整数aに対して、[a]=a+nZ:={a+mn|nは整数}とする。また集合Z/mZ:={[x]|xは整数}と定義する。 (1)整数a,a'に対して、[a]=[a']⇔ a≡a'(mod m)を証明せよ。  <←は、[a]≠[a']として、背理法で解けばよいのでしょうか?> (2)Z/mZの元[a][b]に対して、[a]+[b]を[a+b]とおき、これが演算であることを証明せよ。 <[a]∋a+mn,[b]∋b+mn'として解いていっても大丈夫ですか?> (3)[a]+[b]:=[a+b]で、Z/mZで可換群になることを証明せよ。 <群であることをまず証明し、その後、[a]+[b]=[b]+[a]を示せばよいのですか?あと、(2)の解法のようにすることは可能ですか?> 長々となりましたが、<>の部分を教えてください。

noname#38655
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  • 回答No.1
  • rinkun
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最初の > [a]=a+nZ:={a+mn|nは整数} は < [a]=a+mZ:={a+mn|nは整数} で良いかな。 (1)の←は背理法は必要ないでしょう。 a≡a'(mod m)からa=a'+mkゆえ [a]={a+mn}={a'+m(n+k)}=[a'] です。 (2)は[a]=[a']、[b]=[b']としたときに[a+b]=[a'+b']を示します。(1)を利用しましょう。 (3)は可換群の定義条件を一つ一つ確認すればOKです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 (1)はその方法をもう少し考えて見ます。 (2)について、[a]=[a']、[b]=[b']としたときに[a+b]=[a'+b']を示したあと、以下のように解いたのですが、いいですか? [a]∋a+mn,[b]∋b+mn'(∀n,∀n'∈Z)より、 (a+mn)+(b+mn')=(a+b)+m(n+n') ≡a+b (mod m) ≡(a+b)+mk (mod m) (∀k∈Z) (a+b)+mk∈[a+b] (3)について以下のように解いてみました。(略してます) まず、演算について閉じている。 結合法則が成り立つ。単位元[0]、逆元[a'](a'=m-a)が存在より、これは群である。 [b]+[a]=[b+a]=[a+b]=[a]+[b] より可換群。

質問者からの補足

(2)について、rinkunの方法(?)をやってみました。 [a]=[a']、[b]=[b']としたときに [a]+[b]=[a’]+[b’]・・・(▲)は成り立つ。 a=a’+mk、b=b’+mnとすると(▲)より a+b=(a’+mk)+(b’+mn) =(a’+b’)+m(k+n)だから a+b≡a’+b’ (mod m) (1)より[a+b]=[a’+b’] [a+b]∋a+bだから演算は成り立つ。

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