代数

質問

自然数ｍ、任意の整数ａに対して、[ａ]＝a＋ｎＺ：＝｛a＋ｍｎ|ｎは整数｝とする。また集合Ｚ/ｍＺ：＝｛[ｘ]|ｘは整数｝と定義する。

（1）整数a,a'に対して、[a]=[a']⇔　a≡a'（mod m）を証明せよ。　

＜←は、[a]≠[a']として、背理法で解けばよいのでしょうか？＞

（２）Z/mZの元[a][b]に対して、[a]＋[b]を[a＋b]とおき、これが演算であることを証明せよ。

＜[a]∋a+mn,[b]∋b+mn'として解いていっても大丈夫ですか？＞

（３）[a]＋[b]：＝[a＋b]で、Z/mZで可換群になることを証明せよ。

＜群であることをまず証明し、その後、[a]+[b]=[b]+[a]を示せばよいのですか？あと、（２）の解法のようにすることは可能ですか？＞

長々となりましたが、＜＞の部分を教えてください。

回答No.1

rinkun

最初の
> [ａ]＝a＋ｎＺ：＝｛a＋ｍｎ|ｎは整数｝
は
< [ａ]＝a＋ｍＺ：＝｛a＋ｍｎ|ｎは整数｝
で良いかな。

(1)の←は背理法は必要ないでしょう。
a≡a'（mod m）からa＝a'＋ｍｋゆえ
[a]＝｛ａ＋ｍｎ｝＝｛a'＋ｍ(ｎ＋ｋ)｝＝[a']
です。
(2)は[a]＝[a']、[b]＝[b']としたときに[a＋b]＝[a'＋b']を示します。(1)を利用しましょう。
(3)は可換群の定義条件を一つ一つ確認すればOKです。

お礼

ありがとうございます。
（1）はその方法をもう少し考えて見ます。
（2）について、[a]＝[a']、[b]＝[b']としたときに[a＋b]＝[a'＋b']を示したあと、以下のように解いたのですが、いいですか？

[a]∋a+mn,[b]∋b+mn'(∀n,∀n'∈Ｚ)より、
（a+mn）+（b+mn'）=（a+b）+m（n+n'）
≡a+b (mod m)
≡(a+b)+mk (mod m) (∀k∈Z)
(a+b)+mk∈[a+b]

(3)について以下のように解いてみました。（略してます）

まず、演算について閉じている。
結合法則が成り立つ。単位元[0]、逆元[a']（a'=m-a）が存在より、これは群である。
[ｂ]＋[ａ]＝[ｂ＋ａ]＝[ａ＋ｂ]＝[ａ]＋[ｂ]
より可換群。

補足

（2）について、rinkunの方法（？）をやってみました。

[a]＝[a']、[b]＝[b']としたときに
[a]+[ｂ]＝[ａ’]＋[ｂ’]・・・（▲）は成り立つ。
ａ＝ａ’＋ｍｋ、ｂ＝ｂ’＋ｍｎとすると（▲）より
ａ＋ｂ＝（ａ’＋ｍｋ）＋（ｂ’＋ｍｎ）
＝（ａ’＋ｂ’）＋ｍ（ｋ＋ｎ）だから
ａ＋ｂ≡ａ’＋ｂ’　(mod m)
（１）より[ａ＋ｂ]＝[ａ’＋ｂ’]

[ａ＋ｂ]∋ａ＋ｂだから演算は成り立つ。