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well-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。 「整数aのmを法とする剰余類は [a]={x|x≡a(mod m)}とする。 また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。 a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する: [a]+[b]=[a+b] これは代表元の選び方に依存しない。 すなわち演算+はwell-definedである。」 ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。 すなわち演算+はwell-definedである。」 といえるのですか? よく意味が分かりません。教えてください。

noname#38655
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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。 今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。 そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。 もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、 逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。 さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。 いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。 したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。 同様に(b-b')もmで割り切れます。 つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。 したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。 すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。 これは合同式の演算の正当化でもあります。 x≡y (mod m) z≡w (mod m) であれば、 x+z≡y+w (mod m) というものです。余りだけ見るのだから、 余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!) というわけですね。

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質問者からの補足

考えてみたのですが、 [a]=[a’]、[b]=[b’]のとき a=a’+mn、b=b’+mk(n、kは整数) [a]+[b]={a’+mn|nは整数}+{b’+mk|kは整数} ≡a’+b’(mod m) ≡a+b (mod m) ≡{(a+b)+mt|tは整数} =[a+b] [a]+[b]=[a+b]と集合で表すことも可能ですか?

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)

先の質問もあるので一点だけ。 > [a]+[b]=[a+b] これは定義であることに注意しないといけない。 [a]+[b]は定義なしでもできる演算ではなく、新たに定義したものである。 従ってNo.2の補足に書いたような記述は順番が間違っている。 [a+b]の演算が[a]や[b]の代表元a、bの取り方に依存しないことを言ってから初めて[a]+[b]が定まるのである。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 なんとか解決に至ることができました。

  • 回答No.1
  • kochory
  • ベストアンサー率45% (167/370)

well-definedの意味はわかっているのでしょうか? 上記の定義が代表元の選び方に依存しないのであれば、 どのようなa,bに対しても [a]+[b]=[a+b] という定義だけで+という演算を曖昧さなしに定義でき、 それ以上付け加えることがなにもないので、 +はwell-definedだ(はっきり定義されている)と 言っているだけだと思いますが。

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質問者からの補足

すみません、何故、代表元の選び方に依存しないのですか?

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