• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

代数の問題について

a,bを整数、m,nを1より大きい整数とする。(m,n)=1であれば、a≡b(mod m),a≡b(mod n)⇔a≡b(mod nm)は(m,n)=1のとき、a≡0(mod m),a≡0(mod n)⇔a≡0(mod nm)という命題から導くことはできますか?どのようにすればいいのかわかりません!お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

>(m,n)=1のとき、a≡0(mod m),a≡0(mod n)⇔a≡0(mod nm) から、 >(m,n)=1であれば、a≡b(mod m),a≡b(mod n)⇔a≡b(mod nm) を導きたいのですが? もしそうなら、A=a-bとすれば、後者の命題は、 (m,n)=1のとき、A≡0(mod m),A≡0(mod n)⇔A≡0(mod nm) と同値ですが、これは前者の命題から明らかに成り立ちますよね?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 代数学の、整数の合同の問題を教えて下さい。

    この問題がわからず困っています。 (1)n,mは互いに素な整数とする。 このとき、sn+tm=1となる整数s,tが存在する。 a,bを整数とする時、x=bsn+atmとおく。このとき、xは合同式 x≡a mod n x≡b mod m を満たすことを示しなさい。 (2)さらに、xをnmで割った余りをrとする。この時rは r≡a mod n r≡b mod m を満たすことを示しなさい。 という問題です。 分かる方、よろしくお願いいたします

  • 代数学問題について

    (1)整数a,b,n(n>1)についてa≡b(mod n)ならば、{aをnで割ったときの余りとbをnで割ったときの余りが等しい}を示すとき、の発想が分かりません。どうやって解答をかけばよいのでしょうか?? (2)整数a,b,m(>0),n(n>1)と正の整数kについて、()a≡b(mod mn)ならばa≡b(mond n) ()a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod kn) ()a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod n) を示す方法が分かりません。 (3)(m,n)>1のとき、a≡0(mod m),a≡0(mod n)ならば、a≡0(mod mn)は成り立たないとあったのですが、なぜでしょう?具体例などありますか?どうか教えてくだい!!

  • あまりの問題

    整数a,b,m(>0),n(n>1)と正の整数kについて、(1)a≡b(mod mn)ならばa≡b(mond n) (2)a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod kn) (3)a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod n) を示す方法が分かりません。お願いします。

  • 代数

    自然数m、任意の整数aに対して、[a]=a+nZ:={a+mn|nは整数}とする。また集合Z/mZ:={[x]|xは整数}と定義する。 (1)整数a,a'に対して、[a]=[a']⇔ a≡a'(mod m)を証明せよ。  <←は、[a]≠[a']として、背理法で解けばよいのでしょうか?> (2)Z/mZの元[a][b]に対して、[a]+[b]を[a+b]とおき、これが演算であることを証明せよ。 <[a]∋a+mn,[b]∋b+mn'として解いていっても大丈夫ですか?> (3)[a]+[b]:=[a+b]で、Z/mZで可換群になることを証明せよ。 <群であることをまず証明し、その後、[a]+[b]=[b]+[a]を示せばよいのですか?あと、(2)の解法のようにすることは可能ですか?> 長々となりましたが、<>の部分を教えてください。

  • 代数の問題です。

    大学の代数でこのような問題がでて きて、わからないので教えてくださ い 。よろしくお願いします。加法群G=Zの部分群H=nZ(n≧1は 自然数)に関する剰余類aHをa+nZと加 法的に表す。 また、a,b∈Zに対し、a-bがnの倍数 のときa≡b(mod n)と表し、aとbはn を法として合同であるという。 これは、a+nZ=b+nZと同値である。 剰余類の集合G/H=Z/nZをZnと表す。 Cn:位数nの巡回群={e,a,a^2,…a^n-1}a ^n=eとする (1)a≡a′(mod n),b≡b′(mod n)な らば、a+b≡a′+b′(mod n)を示せ 。 これより剰余類の集合Znに(a+Z)+(b+Z )=a+b+Zによって 積(この場合は和)が定義されることを 示し、 Znに群の構造が入ることを示せ。(Zn をnによる剰余類群という。) (2)剰余類群Znは巡回群Cnと同型であ ることを示せ

  • 代数の問題です。

    加法群G=Zの部分群H=nZ(n≧1は 自然数)に関する剰余類aHをa+nZと加 法的に表す。 また、a,b∈Zに対し、a-bがnの倍数 のときa≡b(mod n)と表し、aとbはn を法として合同であるという。 これは、a+nZ=b+nZと同値である。 剰余類の集合G/H=Z/nZをZnと表す。 Cn:位数nの巡回群={e,a,a^2,…a^n-1}a ^n=eとする (1)a≡a′(mod n),b≡b′(mod n)な らば、a+b≡a′+b′(mod n)を示せ 。 これより剰余類の集合Znに(a+Z)+(b+Z )=a+b+Zによって 積(この場合は和)が定義されることを 示し、 Znに群の構造が入ることを示せ。(Zn をnによる剰余類群という。) (2)剰余類群Znは巡回群Cnと同型であ ることを示せ

  • 代数学の問題です。

    代数学の問題なんですが.解らないので解説付きで教えてください. 1正の整数n(>1)与えられたとき,2つの整数a,bに対して.n|a-bのときa≡bと定義すればこの関係≡は同値関係であることを示せ. 2つの整数a,bにたいして2|(a-b)または3|(a-b)のときa~bと定義すればこの関係~はZの中の同値関係となるか この二問です. 出来れば詳しく教えてください. お願いします.

  • 代数の証明です。

    m,nを正整数としたときに、 mZ+nZ=lZ(lはm,nの最小公倍数)という命題なんですが、 どうやって示してあげればいいんですか?

  • 証明問題ですが次の方法でいいでしょうか

    abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ [考えた答え] もとの命題に対する対偶は等しいので a,bともに3の倍数でないならば abが3の倍数でないならばabが3の倍数でないことを示す a,bはともに正の整数もm,nを用いて a=3m+1 b=3n+2と表せる。 ゆえに ab=(3m+1)(3n+2)=3(3mn+2n+1)+2 ゆえにabは3の倍数ではない ゆえにもとの命題も成立 答えがとうかと、ほかにもっといい方法はないか よろしくお願いします。

  • 剰余の問題について

    基本情報技術者試験の問題にて、 pを2以上の整数とする。任意の整数nに対して、 n=kp+m (0 <= m < p) を満たす整数kとmが一意に存在する。このmをnのpによる剰余といい、 n mod pで表す。(-10000)mod 32768に等しくなるものはどれか。 ア -(10000 mod 32768) イ (-22768)mod 32768 ウ 10000 mod 32768 エ 22768 mod 32768 という問題があります。 この問題の解答は「エ」となるのですが、 解き方がどうしても理解することができません。 解説では (-10000)mod 32768と等しいのは 32768+(-10000)=22768から 22768mod32768となる。 と書いてあるのですが、このように解答していく プロセスがさっぱり見えてきません。 この解法の仕方をレクチャーしていただけないでしょうか。