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代数の証明です。
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Ｚとは何でしょう。 添え字でなければ、与えられた式は、m+n=l になってしまいますよね。 それに、m=2, n=3 ⇒l=6 の場合、成り立ちませんよね。
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かんじんのところがミス、訂正します。 だとすると、上式の + が集合積(共通集合)ならば等号 = が「成立」。 左辺の任意の要素は右辺に属し、逆に左辺の要素は右辺に属することを示せばよいのでしょう。
>mZ+nZ=lZ(lはm,nの最小公倍数)という命題 >Ｚは集合で整数のことです。 だとすると、上式の + が集合積(共通集合)ならば等号 = が不成。 左辺の任意の要素は右辺に属し、逆に左辺の要素は右辺に属することを示せばよいのでしょう。
補足
すいません、最小公倍数というのが 間違っていました。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
lは最小公倍数ではなく、最大公約数である。 mZ+nZに含まれる最小の自然数をaとする。 mZ+nZの任意の数bをaで割った商をq、余りをrとすると、 b=aq+r、0≦r＜a r=b-aqであるが、mZ+nZに含まれる数は、何倍かしたり、足し引きして も、やはりmZ+nZに含まれるので、rもmZ+nZに含まれる。 0≦r＜aで、aがmZ+nZに含まれる最小の自然数としたので、r=0 よって、b=aq すなわち、mZ+nZに含まれる数はaの倍数である。 逆にaの倍数はmZ+nZに含まれる。 したがって、mZ+nZはaの倍数全体の集合となる。 aはmZ+nZに含まれるので、 a=mx+nyと書ける。 lは右辺を割り切るので、左辺のaも割り切る。 また、m,nもmZ+nZに含まれるので、m,nはaの倍数、すなわち、aはm,n の公約数となり、aはm,nの最大公約数であるlの約数となる。 つまり、aはlを割り切る。 よって、aとlは互いを割り切るので、a=lとなる。 以上から、mZ+nZはlの倍数全体の集合、すなわち、lZとなる。
お礼
間違えていました。 おっしゃるとおりで【最小公倍数】→【最大公倍数】 でした。間違って投稿しながら証明を解いていただいて ありがとうございます。 もし、よかったら似たような証明でもう1問わかんないものが あるんですけれど、解いてもらえませんか？
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補足
すみません。 Ｚは集合で整数のことです。