∞×０なんて答えあったっけ？

質問

どうも。先ほど同じ質問をした方がいらっしゃったと思いますが、どうにも回答のほうが怪しいので改めて私のほうから質問させていただきます。
∞×０には答えはありますか?あるとしたらそれは∞ですか、0ですか?ないのならこれはどのように計算するのでしょうか。
私の記憶ではこれは不定形と言うもので単純には計算できないと思っていたのですが。基本的に∞と言う数は存在しないで、「無限に大きくしていく」と言う過程をlimで表現するのではなかったでしょうか。それともカントールが言うように∞を数える立場に立つと違うのでしょうか。この辺りにきちんとした知識をお持ちの方にご回答願います。

回答No.8

adinat · ベストアンサー

通常の実数論の立場から言うと、∞は実数ではありませんので、∞と実数の加減乗除は定義しないのが自然です。ですが、便宜上許しても問題のない演算もありますので、以下のものは認めてよいものとお考えください。

∞±a＝∞、－∞±a＝－∞、ただしaは実数
∞×a＝∞、－∞×a＝－∞、ただしaは正の実数
∞×b＝－∞、－∞×b＝∞、ただしbは負の実数
a÷∞＝0、a÷(－∞)＝0、ただしaは実数
∞＋∞＝∞、∞×∞＝∞、
(－∞)＋(－∞)＝－∞、(－∞)×(－∞)＝∞、
(－∞)×∞＝∞×(－∞)＝－∞

普通はこれ以外の危険な演算は定義しません。したがって∞×0は数としての演算とは通常は考えないことにしています。それは多くの方がご指摘されている通り、a_n→α、b_n→βと数列が実数α、βに収束する場合に成り立つ公式、

a_nb_n→αβ

において便宜的にたとえばa_n=1/n、b_n=nとでもすると、αβ=1でなくてはなりませんが、α=0、β=∞となっています。不定形と言っているのこの極限操作において、演算（この場合は掛け算）と極限を交換できない場合を指しています。このような例は∞÷∞、∞^0、∞－∞などでも生じます。したがって上でやってよい演算にはこれらは入れないことにするのです。

しかしながら、∞は実数と思うことはできないにせよ、上に示した演算なら許される仮想的な実数と思うことは出来なくもありません。そこで∞と－∞を通常の実数に加えた、拡張した実数というものを考えることはあります。実解析（ルベーグ積分論）と呼ばれる数学の一分野では、このように∞をあたかも数のように扱って理論に加えた方が便利なことがありますので、拡張した実数を考察することはあります。そこでは掛け算というものを定義している必要があるので、∞×0＝0と約束することがあります。これはこれで別に矛盾は生じないのです。なぜかといえば、上で極限と掛け算の交換ができるのは、数列a_n、b_nが実数に収束する場合だけであるからです。

僕が指摘しておきたいのは、∞×0＝0と約束することは一向に構わないが、たとえば(1/n)×nにおいてn→∞とすると、形式的に0×∞になりはするが、このようなことは各項が収束する場合しかしてはいけない（この場合はnは∞に"発散"する）ということです。つまり不定形極限の場合は形式的な演算（∞、0を含む加減乗除）はしてはいけない、ということです。このような立場にたつと、∞×0が何らかの数になっていると考えるのは、ある意味で危険なようにも思えます。そういう気持ちがあるときには、∞×0は定義しないという立場に立てばいいのです。けれどもしつこいようですが、∞×0=0と約束してもなんら困ったことは起きないし、実際、そういうように考える数学があるのだ、ということを指摘しておきたいと思います。

お礼

専門家の方からご意見いただきました。ありがとうございます。お話を聞く限り、原則としては不定形と言って定義されていないもので、こういった演算は存在しないようです。ただ演算結果を0と定義する数学の分野も存在しているようですね。正確な解答ありがとうございました。