球面上の三角形をどんどん縮めていくと…

質問

今日、本で「球面上の三角形の内角の和は180°にならない」という話を読み、とてもおもしろいと思いました。（ということからもわかるように、私は高校で数学とは縁を切った一社会人です。）
このサイトでも過去にいくつか質問が出ていて、興味深く一通り読ませていただきました。
そこで疑問に思ったのですが、いま地球上に、北極点を頂点とし赤道を底辺にした、内角の和が270°の三角形を書いたとします。そこから、底辺の緯度をちょっとずつ上げていくとします。つまり底辺を平行移動するわけですから、三角形は相似のまま小さくなっていきますよね？
これを続けていくと、最後に北極点周辺にたどり着いたとき、この三角形の内角の和はあいかわらず270°なのでしょうか？　どう考えても180°になる気がするのですが。それとも、球面上では平面上のような相似の考え方がそもそも通用しないのでしょうか？
愚問かもしれませんが、お暇なときでけっこうですのでご教示ください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

球面上での直線を
『球の大円の弧の一部』
と解釈するならば
0°の緯線(赤道)以外の緯線は
大円にはなっていませんので、緯線の一部は直線では
ありません

球面上での三角形を
『３つの異なる点を通る直線で閉じた面積』
と解釈すれば
最初に考えた図形は、直線で囲まれているので
三角形で内角の和も270°ですが

そこから底辺の緯度を上げていった図形は
直線以外のもので囲まれているので
三角形とは言えません

球面上の幾何学の公理として
『２直線は必ず交わる』と言うものがありますが
地球儀を見て、緯線が互いに交わらないことからも
緯線が直線で無いことが解るでしょう

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

なるほど、単純に緯度を上げていっても直線にならないので、三角形ではなくなってしまうんですね。
とすると、底辺が直線になるような状態を保ったままで形を縮めていくと…緯線より少し北側にたわむ感じになるんでしょうか？　うまく表現できませんが…内角の和はどうなっていくんでしょう？

回答No.3

kdx_silvia2

私は底辺の緯度を上昇させていくと、低角は90°より小さくなっていき、最終的に45°になりそうな気がするのですが。

＞球面上では平面上のような相似の考え方がそもそも通用しないのでしょうか？

相似ということではないと思いますよ。三角形の二等分線を通る地球の断面を考えたらわかるかと思います。曲率が小さくなっていきますので。

お礼

曲率って三角形の表面の曲がりぐあいということですよね？　それによって内角の和も変わってくると…。
そりゃそうですよね。そう考えればよく納得できます。
1時間以上も考えていたことが、一瞬にして解決しました！　回答いただいたみなさん、ありがとうございました。

回答No.2

acacia7

最後に気づかれている通り、
「三角形の各角の角度が同値だから相似」とはいえません。
また、赤道で「直線」である「底辺」を
「平行」移動すると「曲線」になってしまいます。
厳密には球面上の直線とは必ず球面を二分する円のことなので、平行に動かしたつもりでもどこかでは交点を結んでいます。子午線を東西方向に回しても
北極と南極で交点を結ぶ様にです。
つまり、緯度線は北緯０度以外では球面上の「直線」ではないのです。

ということで、球面上で相対的に小さい三角形はその内角の和はかぎりなく１８０度に近づきます。

お礼

思い出しました！　地理の時間に、メルカトル図法で同じ緯度の2地点を結ぶ最短距離が直線ではなく曲線になるひっかけ問題がありましたよね。あの逆ですね？
やはり思い違いをしていたようです。
さっそくの回答ありがとうございました。