周の長さの和がａで一定の凸ｎ多角形で、面積が最大になるものはどんなｎ多

質問

周の長さの和がａで一定の凸ｎ多角形で、面積が最大になるものはどんなｎ多角形か。
ｎ＝３のときは、正三角形のときで、次のように考えました。
一辺を底辺とし固定して、２辺の和が一定だから２頂点は楕円の焦点になり、残りの１頂点は
楕円上の点になる。底辺が固定されているから高さが最大になるときより、１頂点は底辺の垂直
２等分線上にある。よって、２等辺三角形のとき面積最大になる。このあとは、底辺、等辺を文字で
あらわして、面積を微分して求めました。（他の簡単な解法があれば紹介してください）
ｎ＞＝４以上のときはどうすればよいのでしょうか。
大きな流れでよいので教えてください。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

「等周問題」などで検索すると、図入りのサイトがいくつかありました。

　以下、偏微分を用いる方法の、大まかな流れ。

　隣り合う二辺が等しいことは、三角形の場合と同様にして分かる。

　n多角形を、n個の二等辺三角形に分割して、適当な角度を用いて、その二等辺三角形の面積和を表す。

　n個の角度（変数）の和が満たす条件のもとで、その面積の和の極値を求める。

　求める方法としては、ラグランジュの未定乗数法など。

お礼

等周問題で検索してみたいと思います。
n個の二等辺三角形に分割して、適当な角度を用いて・・・
で、どこの角度をもちいるのかイメージがわかないので、
調べてみたいとおもいます。
ありがとうございます。

回答No.3

nag0720

隣り合う２辺が等しいことは証明できたとして、
あとは、隣り合う２頂点の内角が同じならは正ｎ角形になりますよね。

隣り合う４頂点で作られる四角形を考えます。（４辺中３辺が同じ長さ）
この四角形を辺の長さを変えずに変形させたとき、面積が最大になるのは等脚台形であることが証明できれば、凸ｎ多角形が最大面積のときは隣り合う２頂点の内角は等しいことになります。

等脚台形のとき最大面積になる証明は、ちょっと難しいかもしれませんがやってやれないことではないでしょう。

お礼

ありがとうございます。
図形の変化するものと固定するものとが
いりまじっているので、頭を整理して
かんがえたいと思います。

回答No.1

f272

周の長さの和がａで一定の凸ｎ多角形で
隣り合った２辺の長さが異なるならば，その凸ｎ多角形の面積は最大ではない
これから
凸ｎ多角形の面積は最大であるとき，隣り合った２辺の長さは等しい
ということが分かる。

お礼

隣り合う辺が等しいことより、正ｎ角形としていけないことは
わかります。だけど、この答えは正ｎ角形だと思うので、
このあとは考えてみたいと思います。
ありがとうございます。