正n角形の周の長さと面積の関係

質問

正n角形において、中心から辺までの距離をaとすると周の長さLと面積Sには「dS/da=L」の関係があると聞いたので、証明してみました。

(証明)
中心から頂点までの距離bは、
cos(π/n)=a/b ∴b=a/{cos(π/n)}
正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、
c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n)
∴c=b{2(1-cos(π/n))}^(1/2)

よって、
L=n*c
=na{2(1-cos(π/n))}^(1/2)/cos(π/n)
S=n*(1/2)*a*b
=n(a^2){2(1-cos(π/n))}^(1/2)/2cos(π/n)
従って、dS/da=L (証明終)

証明はこれでよろしいでしょうか？
もうひとつ、n→∞としたら正n角形は限りなく円に近付きますから、Lは円周に、Sは円の面積に限りなく近づくはずです。
ということは、
lim[n→∞]L=2πa
lim[n→∞]S=πa^2
になると思うのですが、上の値でやると∞×0の不定型で解けません。
どなたかわかる方、ご教授ください。

回答No.1

noname#107596 · ベストアンサー

＞正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、
　c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n)

このとき見ている三角形を確認するとわかりますが、
角Cは２π/ｎなので、

c^2=b^2+b^2-2b*bcos(2π/n)

となり、倍角公式を使って式変形をしていくと、
c=2b(1-(cos(π/n))^2)^(1/2)

b=a/{cos(π/n)}を代入して、
=2a((1/cos(π/n))^2-1)^(1/2)

また、書き間違いと思いますが
＞S=n*(1/2)*a*b
　S=n*(1/2)*a*"ｃ"

よって、
L=n*c
=2na{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2)
S=n*(1/2)*a*c
=n(a^2){(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2)

となるかと。

お礼

回答ありがとうございました。
ご指摘通り、もう一度トライしたら解けました！
Sの式は完全に書き間違いです(^^;)スミマセン。

回答No.3

LightOKOK

まず、２箇所ほどミスがあります。

>正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、
>c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n)

c^2=b^2+b^2-2b*bcos(2π/n)

>S=n*(1/2)*a*b
正しくは、S=n*(1/2)*a*c

で、
lim[n→∞]L は、(1/n)=θとおき、
lim[n→∞]L=lim[θ→0]L
=lim[θ→0]{(√2)√(1-cos(2πθ))/(θcos(πθ))}
ここで、
√(1-cos(2πθ)/2)=sin(πθ) なので
lim[n→∞]L=lim[θ→0]{2asin(2πθ)/(πθ)cos(πθ)}*π
=2πa

面積についても同様にして求まります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
三角関数の極限は、如何に倍角の公式を適用するかがポイントのようですね。

回答No.2

noname#107596

#1です。

極限について、

L=n*c
=2na{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2)

なので、lim[n→∞]L=2πaとなるには、
lim[n→∞](n{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2))=π
となればよい。

ここでπ/n=kとおくと、n→∞のときk→0なので、
lim[n→∞](n{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2))
=lim[k→0]((π/k){(1/cosk)^2-1}^(1/2))
=lim[k→0](π/k)({(1-(cosk)^2)/(cosk)^2}^(1/2))
=lim[k→0](π/k)({(sink)^2/(cosk)^2}^(1/2))
=lim[k→0](π/k)(sink/cosk)
=lim[k→0]π・(sink/k)・(1/cosk)

lim[k→0](sink/k)=1なので、(公式と思っていただいても結構です。)

=π・1・(1/1)
=π

これから、
lim[n→∞]L=2πa

面積Sは
S=n*(1/2)*a*c
=(1/2)*a*L
なので、
lim[n→∞]S
=(1/2)・a・lim[n→∞]L
=(1/2)・a・2πa
=πa^2

と、lim[n→∞]L=2πaがいえれば、
細かい計算をしなくてもわかります。