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正n角形の周の長さと面積の関係

正n角形において、中心から辺までの距離をaとすると周の長さLと面積Sには「dS/da=L」の関係があると聞いたので、証明してみました。 (証明) 中心から頂点までの距離bは、 cos(π/n)=a/b ∴b=a/{cos(π/n)} 正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、 c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n) ∴c=b{2(1-cos(π/n))}^(1/2) よって、 L=n*c =na{2(1-cos(π/n))}^(1/2)/cos(π/n) S=n*(1/2)*a*b =n(a^2){2(1-cos(π/n))}^(1/2)/2cos(π/n) 従って、dS/da=L (証明終) 証明はこれでよろしいでしょうか? もうひとつ、n→∞としたら正n角形は限りなく円に近付きますから、Lは円周に、Sは円の面積に限りなく近づくはずです。 ということは、 lim[n→∞]L=2πa lim[n→∞]S=πa^2 になると思うのですが、上の値でやると∞×0の不定型で解けません。 どなたかわかる方、ご教授ください。

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noname#107596
noname#107596
回答No.1

>正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、  c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n) このとき見ている三角形を確認するとわかりますが、 角Cは2π/nなので、 c^2=b^2+b^2-2b*bcos(2π/n) となり、倍角公式を使って式変形をしていくと、 c=2b(1-(cos(π/n))^2)^(1/2) b=a/{cos(π/n)}を代入して、 =2a((1/cos(π/n))^2-1)^(1/2) また、書き間違いと思いますが >S=n*(1/2)*a*b  S=n*(1/2)*a*"c" よって、 L=n*c =2na{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2) S=n*(1/2)*a*c =n(a^2){(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2) となるかと。

tksmsysh
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 ご指摘通り、もう一度トライしたら解けました! Sの式は完全に書き間違いです(^^;)スミマセン。

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  • LightOKOK
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回答No.3

まず、2箇所ほどミスがあります。 >正n角形の1辺の長さcは、余弦定理より、 >c^2=b^2+b^2-2b*bcos(π/n) c^2=b^2+b^2-2b*bcos(2π/n) >S=n*(1/2)*a*b 正しくは、S=n*(1/2)*a*c で、 lim[n→∞]L は、(1/n)=θとおき、 lim[n→∞]L=lim[θ→0]L =lim[θ→0]{(√2)√(1-cos(2πθ))/(θcos(πθ))} ここで、 √(1-cos(2πθ)/2)=sin(πθ) なので lim[n→∞]L=lim[θ→0]{2asin(2πθ)/(πθ)cos(πθ)}*π =2πa 面積についても同様にして求まります。

tksmsysh
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。 三角関数の極限は、如何に倍角の公式を適用するかがポイントのようですね。

noname#107596
noname#107596
回答No.2

#1です。 極限について、 L=n*c =2na{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2) なので、lim[n→∞]L=2πaとなるには、 lim[n→∞](n{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2))=π となればよい。 ここでπ/n=kとおくと、n→∞のときk→0なので、 lim[n→∞](n{(1/cos(π/n))^2-1}^(1/2)) =lim[k→0]((π/k){(1/cosk)^2-1}^(1/2)) =lim[k→0](π/k)({(1-(cosk)^2)/(cosk)^2}^(1/2)) =lim[k→0](π/k)({(sink)^2/(cosk)^2}^(1/2)) =lim[k→0](π/k)(sink/cosk) =lim[k→0]π・(sink/k)・(1/cosk) lim[k→0](sink/k)=1なので、(公式と思っていただいても結構です。) =π・1・(1/1) =π これから、 lim[n→∞]L=2πa 面積Sは S=n*(1/2)*a*c =(1/2)*a*L なので、 lim[n→∞]S =(1/2)・a・lim[n→∞]L =(1/2)・a・2πa =πa^2 と、lim[n→∞]L=2πaがいえれば、 細かい計算をしなくてもわかります。

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