面積1の正三角形A0から初めて

質問

面積1の正三角形A0から初めて、図のように図形A1、A2、…を作る
ここでAnはAn-1の各辺の3等分点を頂点にもつ正三角形をAn-1の外側に付け加えてできる図形である
図形Anの面積をSnとするとき、lim[n→∞]Snを求めよ

解き方がわかりません、教えてください
ちなみにAnの辺の数をan、Anの1辺の長さをlnとすればそれぞれan=3・4^n、ln=l0*(1/3)^nでした

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

＞済みません。親に子が付き子に孫がつく・・・・・と勘違いしていました。
孫が親にも付くとなると、No.4さんのご指摘の通り、
S2=S1+(1/9)^2*3*4になります。
以下、nが1増える毎に辺の数が4倍になるので、
A0の面積S0=1
A0の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)で個数は3だから
A1の面積S1=S0+(1/9)*3=1+1/3=4/3
A1の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^2で個数は3*4だから
A2の面積S2=S1+(1/9)^2*3*4
A2の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^3で個数は3*4*4だから
A3の面積S3=S2+(1/9)^3*3*4^2
A4の面積S4=S3+(1/9)^4*3*4^3
以下同様に
A_nの面積S_n=S_n-1+(1/9)^n*3*4^(n-1)=S_n-1+(3/4)*(4/9)^n
このS_n=S_n-1+(3/4)*(4/9)^nに
S_n-1=S_n-2+(3/4)*(4/9)^(n-1)
S_n-2=S_n-3+(3/4)*(4/9)^(n-2)
S_n-3=S_n-4+(3/4)*(4/9)^(n-3)
・・・・・・・・・・・
を順次代入して
S_n=S_n-1+(3/4)*(4/9)^n
=S_n-2+(3/4)*{(4/9)^(n-1)+(4/9)^n}
=S_n-3+(3/4)*{(4/9)^(n-2)+(4/9)^(n-1)+(4/9)^n}
=S_n-4+(3/4)*{(4/9)^(n-3)+(4/9)^(n-2)+(4/9)^(n-1)+(4/9)^n}
・・・・・・・・・・・・・
=S_1+(3/4)*{(4/9)^2+・・・+(4/9)^(n-1)+(4/9)^n}
=4/3+(3/4)*[{1-(4/9)^(n+1)}/(1-(4/9))-1-4/9]
={8-3*(4/9)^n}/5=(8/5)-(3/5)*(4/9)^n
よって
lim[n→∞]Sn=lim[n→∞]{(8/5)-(3/5)*(4/9)^n}=8/5・・・答

お礼

最後までありがとうございました！

回答No.6

yyssaa

No.5の一般項の計算を見易くします。
S_n=S_n-1+(3/4)*(4/9)^n
S_n-1=S_n-2+(3/4)*(4/9)^(n-1)
S_n-2=S_n-3+(3/4)*(4/9)^(n-2)
S_n-3=S_n-4+(3/4)*(4/9)^(n-3)
・・・・・・・・・・・・
S_2=S_1+(3/4)*(4/9)^2
S_1=S_0+(3/4)*(4/9)^1
辺々加えて
S_n=S_0+(3/4)*(4/9)^1+(3/4)*(4/9)^2+・・・+(3/4)*(4/9)^(n-3)
+(3/4)*(4/9)^(n-2)+(3/4)*(4/9)^(n-1)+(3/4)*(4/9)^n
=1+(3/4)*{(4/9)^1+(4/9)^2+・・・+(4/9)^(n-3)+(4/9)^(n-2)+(4/9)^(n-1)+(4/9)^n}
=1+(3/4)*[{1-(4/9)^(n+1)}/{1-(4/9)}-1]
=1+(3/4)*{4-9*(4/9)^(n+1)}/5=1+{(3/5)-(3/5)*(4/9)^n}=8/5-(3/5)*(4/9)^n
よって
lim[n→∞]Sn=lim[n→∞]{8/5-(3/5)*(4/9)^n}=8/5・・・答

お礼

ありがとうございます！
見やすいです

回答No.4

Tacosan

え～と....

とりあえず
A1の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^2で個数は3*2だから
A2の面積S2=S1+(1/9)^2*3*2
の部分はおかしい気がします＞#3. 3*4 じゃない?

お礼

回答の補足ありがとうございました

回答No.3

yyssaa

再回答です。
＞面積の問題だから、辺の長さを計算する必要は無いでしょう。
AnはAn-1の各辺の3等分点を頂点にもつ正三角形をAn-1の外側に付け
加えてできる図形なら、A1はA0の各辺の3等分点を頂点にもつ正三角形
3個をA0の外側に付け加えてできる図形であり、3等分点を頂点にもつ
正三角形の面積は元の三角形の面積の1/9だから、S1=S0+(1/9)S0*3
ということではないですか。
　前回回答の答が違っているとのことなので、再計算しましたが同じ答
になりました。
　以下の解法のどこが違うのかご指摘願えれば有難いです。
A0の面積S0=1
A0の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)で個数は3だから
A1の面積S1=S0+(1/9)*3=1+1/3=4/3
A1の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^2で個数は3*2だから
A2の面積S2=S1+(1/9)^2*3*2
A2の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^3で個数は3*2*2だから
A3の面積S3=S2+(1/9)^3*3*2^2
・・・・・・・・・・・・・・
A_n-1の外側に付け加える正三角形1個の面積は(1/9)^nで個数は3*2^(n-1)
だからAnの面積Sn=S_n-1+(1/9)^n*3*2^(n-1)=S_n-1+(3/2)*(2/9)^n
よって、
Sn=S_n-1+(3/2)*(2/9)^n
=S_n-2+(3/2)*(2/9)^(n-1)+(3/2)*(2/9)^n
=S_n-2+(3/2)*{(2/9)^(n-1)+(2/9)^n}
=S_n-3+(3/2)*{(2/9)^(n-2)+(2/9)^(n-1)+(2/9)^n}
=S_n-4+(3/2)*{(2/9)^(n-3)+(2/9)^(n-2)+(2/9)^(n-1)+(2/9)^n}
=・・・・・・・・・・
　=S1+(3/2)*{(2/9)^2+(2/9)^3+(2/9)^4+・・・・・+(2/9)^n}
　=4/3+(3/2)*{(2/9)^2+(2/9)^3+(2/9)^4+・・・・・+(2/9)^n}
=4/3+(3/2)*{4-18*(2/9)^n}/63=(10/7)-(3/7)*(2/9)^n
lim[n→∞]Sn=lim[n→∞]{(10/7)-(3/7)*(2/9)^n}=10/7・・・答

補足

答えの違いについてNo.4さんが補足してくださいました

回答No.2

yyssaa

＞S0=1
S1=S0+(1/9)S0*3=1+(1/9)*1*3=1+1/3=4/3
S2=S1+(1/9)^2S0*3*2
S3=S2+(1/9)^3S0*3*2^2
S4=S3+(1/9)^4S0*3*2^3
・・・・・・・・・・・・
Sn=S_n-1+(1/9)^nS0*3*2^(n-1)=S_n-1+(1/9)^n*3*2^(n-1)
だから
Sn=S_n-1+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=S_n-2+(1/9)^(n-1)*3*2^(n-2)+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=S_n-3+(1/9)^(n-2)*3*2^(n-3)+(1/9)^(n-1)*3*2^(n-2)
+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=S_n-4+(1/9)^(n-3)*3*2^(n-4)+(1/9)^(n-2)*3*2^(n-3)
+(1/9)^(n-1)*3*2^(n-2)+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
=S1+(1/9)^2*3*2+(1/9)^3*3*2^2+(1/9)^4*3*2^3+・・・・・・・・・・・・・・・
+(1/9)^(n-2)*3*2^(n-3)+(1/9)^(n-1)*3*2^(n-2)+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=S1+(1/9)^2*3*2+(1/9)^3*3*2^2+(1/9)^4*3*2^3+・・・・・・・・・・・・・・・
+(1/9)^(n-2)*3*2^(n-3)+(1/9)^(n-1)*3*2^(n-2)+(1/9)^n*3*2^(n-1)
=4/3+3/2{(2/9)^2+(2/9)^3+(2/9)^4+・・・・・・・・・・・・・・・
+(2/9)^(n-2)+(2/9)^(n-1)+(2/9)^n}
=4/3+(3/2)*[9*{1-(2/9)^(n+1)}/7-1-2/9]
=10/7-(27/14)*(2/9)^(n+1)
lim[n→∞](2/9)^(n+1)=0
よって、lim[n→∞]Sn=10/7・・・答

お礼

すみません答えは書いておくべきでした
答えは8/5でした
回答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

付け加わる部分の面積を求める.

補足

どうやって求めるのですか？