一辺の長さがaの正方形の中にある図形の面積

質問

一辺の長さがaである正方形があります。この正方形の各頂点を中心とする４つの半径aの円に囲まれた四角形？の面積ってこの条件だけで求まりますか？
よろしくお願いします。

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

この問題を解くには、３つの角が30°,60°,90°である直角三角形の３辺の比が１：２：√3 であるということを知っていないとできません。

それにしても、中学入試で√を扱うとは…

解法ですが、正方形の頂点を左上から反時計回りにA,B,C,Dとします。また、真中にできた四辺形の頂点を辺ADに近い方から、反時計回りにE,F,G,Hとします。
Eから辺BCへ垂線を下ろし、その交点をPとします。

A　　　　D
　　E
　F　　H　　　　　←だいたい、こんな位置関係
　　G
B　 P　　C

BE,BC,ECはそれぞれ半径で等しいので、△EBCは正三角形になります。
扇形B-ECの面積は求められますよね。（半径a,中心角60°）
次に△EBCの面積を求めます。
このときに、「３辺の比が１：２：√3 である」ということを使います。
具体的には、△EBC＝２×△EPBで
△EPBにおいて、BP=a/2, PB=(√3)aになり、「底辺かける高さ÷２」が使えます。
すると、
（扇形B-ECの面積）－（△EBCの面積）
より、BとEで囲まれた弓形のような部分の面積が分かります。（これを弓形BEと表すことにします。）

次に扇形B-AEを考えます。
△EBCが正三角形なので、∠EBC＝60°ですから
∠ABE＝30°となり、半径a、中心角30°でこの面積も計算できます。

最後に
（扇形B-AEの面積）－（弓形BEの面積）
により、A,B,Eで囲まれたイチョウの葉っぱの半分みたいな形の面積が求まります。（これをイチョウ形ABEと表します。）

求めたい四辺形の面積は
（正方形の面積）－（イチョウ形ABEの面積）×４
です。

実際に図を書いてみると、分かりやすいと思います。
一度、aに具体的な数字を入れて、ご自分で計算してみてください。

お礼

説けました。ありがとうございます！！

回答No.6

hinebot

#5です。

済みません。タイプミスしました。

>△EPBにおいて、BP=a/2, PB=(√3)aになり、

PB=(√3)a　ではなく、EP=（√3)a =(√3)×a です

回答No.4

TK0318

おそらく過去のこの質問と同じ状況かな？

参考URL：

http://odn.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=774623

回答No.3

titanuser

No.2の方が言われている通り、この手の問題は実際に図を書いてみると分かりやすいと思います。
（aには具体的な数字を入れて）

あと、引き算の意味が分かっていれば解けるはずです。

大きいもの（正方形）から小さいもの（円）を引いた残りは何に対応するか分かりますか？

補足

すみません。回答方法を教えて頂けませんか？葉っぱ型の面積なら解りますが、変形の四角形の面積となると解りません。よろしくお願いします。

回答No.2

rmz100

「求まる」、「求まらない」でしたら「求まる」が回答です。

考えるより実際に図に書けば簡単に分かります。

回答No.1

kashi__

求まります

超有名な問題ですね

中学入試の問題なので小学生レベルで回答可能です

補足

今年灘中に合格した親戚に聞いたんですがこの条件では出ないんじゃないかと言うことでした。解法を教えて頂けませんか？