正方形の中に接する円

質問

辺の長さ４の正方形の中に等しい大きさの２つの円をすきまなくぴったり接するように書きます。すると正方形のなかに８という字がぴったりはまっているようになります。この２つの円の半径は１です。すると、８の字の左右と正方形のたての辺の間にすきまができます。このすきまにぴったりはまる円を書きます。この円の半径を出したいのですが、わかりません。三平方とか使うのかなあ、と考えたのですが。

回答No.1

debut · ベストアンサー

８の字のくびれの部分に正方形にも接する円をかく
ということですよね？
最初の円の中心をＯ、８の字の接点部分をＰ、かきたい
円の中心をＱとすれば、三角形ＯＰＱで三平方を使って
できます。
かきたい円の半径をｒとします。
すると、ＯＰ＝１，ＯＱ＝１＋ｒ、ＰＱ＝２－ｒなので
(１＋ｒ)^2＝１＋(２－ｒ)^2
解いたら、ｒ＝２/３cmでした。約６.７mm。。

お礼

なるほど。よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.2

Mr_Holland

前回サイエンスZEROで紹介された問題に似ていますね。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3092783.html　のANo.3を参照してください。

　最初につくった８の字になった円(円Ａとします）の片方の中心を点Ａ、８の字の２つの円の接点を点Ｃとし、３つ目に作った隙間にぴったりはまる円(円Ｂとします）の中心を点Ｂとします。また、円Ｂの半径をｘとし、円Ｂと線分ＢＣの交点を点Ｄ、円Ｂと正方形との接点を点Ｅとしますと、次の式が成り立ちます。
　　ＥＣ＝ＥＢ＋ＢＤ＋ＤＣ
　　２＝x+x+ＤＣ
　∴ＤＣ＝2(1-x)
　∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝2-x　　　・・・・・・（Ａ）

　ここで、△ＡＢＣは∠Ｃ＝∠Ｒの直角三角形ですので、三平方の定理から、次の関係が成り立ちます。
　　ＡＢ^2＝ＢＣ^2＋ＣＡ^2
　　(1+x)^2＝(2-x)^2+1^2　　　　←式（Ａ）を代入。
　∴ｘ＝2/3

　従って、円Ｂの半径は　２／３　となります。

　ちなみに、この△ＡＢＣは辺の比が　３：４：５　の直角三角形になっています。

お礼

じつは、その番組を見て自分も解いてみようと思ったのですが、しばらく数学をやっていなかったので、力が弱くなったようです。丁寧な回答ありがとうございます。