面積についての矛盾(?)

質問

はじめまして。
現在高2です。
他の掲示板で質問をしていたのですが、満足のいく返信が来なかったためここで質問させてください。

0≦x≦1で、f(x)≧0を満たす関数f(x)について、f(x),x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sは、
S:=∫_0^1 f(x)dx=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {1/n f(k/n)}
と定義できますが（多分あってると思います）、
a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sを考えれば、
明らかにS=b

ところで、上の定義に従えば、
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}
で、これは
n→∞について、

Σ_{k=1}^n {b/n}→bが成り立つことを示している。
ここで、b→aなので、
Σ_{k=1}^n {b/n}→b→a
Σ_{k=1}^n {b/n}→a

つまり、
n→∞について、
Σ_{k=1}^n {b/n}→a
が成り立つことを示している。

よって
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}=a
ゆえに、S=b=a

これは仮定a≠bに反する。

いったいどこがおかしいのでしょうか。。

数式が見にくくてすみません。

回答No.5

kumipapa

＞　n→∞について、
＞Σ_{k=1}^n {b/n}→bが成り立つことを示している。

Σ_{k=1}^n {b/n}＝b っていうのは、nの大小に無関係に成立していますが。
Σ_{k=1}^n b/n = (b/n)[ Σ_{k=1}^n 1 ] = (b/n) n = b
です。ｎ→∞は関係ありません。

＞　よって
＞　S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}=a
＞　ゆえに、S=b=a

S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n} →a というのは、n→∞とb→a がごっちゃごちゃになっていますよね？

どうせ書くなら、
lim_{b→a}S = lim_{b→a} b = a
と書くべきでは？

S=bならば、b→aでS→aは当然だと思うが。ごめん、結局、何に悩んでいるのか分からなくなっちゃった。

お礼

やっと理解できました。
どうやら意味もなく混乱していたようです。。

どうもありがとうございました。

回答No.4

whitedingo

まず、
a≠b　b→a
ということは、bはaに極限まで近づくって意味ですよね。

あと、たしかに
a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた
長方形の範囲の面積Sを考えれば、
明らかにS=b
です。
で、ここで注意しておきたいのが、
この長方形の領域うち、
f(x)=a上の面積は０ということです。
f(x)=a上ってのは単なる線だからです。
線は面積は持ちません。

だから、b→aとしても、x=aのその線上の面積は0なんだから、
その面積が０のところを足してみても
b=a
となるわけです。

回答No.3

cdsdasds

要するにa≠bだけど、lim_{b→a}b=aだということですよね。

いったいどこがおかしいのでしょう

例えば、f(x) = 2x / (x + 1)で、f(x)=2とすると
2=2x/(x+1)
2(x+1)=2x
2x+2=2x
2=0
となって変なことになります。
よってf(x)≠2ですが、lim_{x→∞}f(x)=2となります。
f(x)≠2だから、lim_{x→∞}f(x)=2は矛盾だとは言いませんよね。

極限においては、通常の場合と異なることがあるということは教科書でも書いてあると思うのですが。

回答No.2

koko_u_

激しく話が飛んでいてついていけない。

>a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sを考えれば、
>明らかにS=b
a は何？

>ところで、上の定義に従えば、
>S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}
>で、これは
f(x) = x を考えているのか？長方形を考えてるのではなかったのか？

>Σ_{k=1}^n {b/n}→bが成り立つことを示している。
>ここで、b→aなので、
>Σ_{k=1}^n {b/n}→b→a
>Σ_{k=1}^n {b/n}→a
考えている limit がゴチャゴチャ。

>これは仮定a≠bに反する。
そもそも b->a と極限を考えていながら、何故 a ≠ b が出てくるのか？

補足

質問文わかりにくくてすみません。
補足（書き直し？）します。
問題点が見えてきた気がしました。

底辺が1,高さがbの長方形（ここでb→aとする。極限の定義からa≠bも示せる）を考えると
この長方形の面積S=1×b=b

ここで、面積の定義を利用すれば
0≦x≦1で、f(x)≧0を満たす関数f(x)について、f(x),x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sは、
S:=∫_0^1 f(x)dx=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {1/n f(k/n)}
である。

よって、今回の長方形は、f(x)=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積を求めればよいので、
S=∫_0^1 f(x)dx=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {1/n f(k/n)}
=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}=b
とあらわせる。

これはn→∞について、Σ_{k=1}^n {b/n}→bをあらわしている。
ここでbはaに収束するから
Σ_{k=1}^n {b/n}はaに収束するはずである。（ここが問題？）
よってΣ_{k=1}^n {b/n}→a

面積の定義より、S=a=b
しかしこれは前提条件a≠bに反する。

回答No.1

joggingman

>a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sを考えれば、
>明らかにS=b

ここで、唐突にaを持ち出していますが、
aって何の値なんですか？
a≠bでb→aとは、
b(n)=a +1/n　とでもしているのでしょうか？
それなら、
lim S(n) =lim b(n)=a　とういだけで、別に
矛盾とはなりませんし、