回転体の表面積

質問

回転体の表面積を求めようとしていますが、計算がわかりません。

(x+2)^2+(y-1.5)^2=3.5^2の円が座標上にあります。x＝1.2の直線を引いたとき、この直線とｙ軸とｘ軸と円の上部のＲ部分(x=0から1.2まで）によって囲まれた部分をx軸で回転させたときの立体の上底面を除いた側面の表面積を求めようとしています。
S＝2π∫[a,b]f(x)√(1+{f'(x)}^2)dxの公式を用いればできると考え、
あてはめました。
S＝2π[1.2,0]{1.5+√(3.5^2-(x+2)^2)}√{1+(1.5+√(3.5^2-(x+2)^2))
　 ^2}
ですが、この先の計算方法がわかりません。ルートは^1/2と考えて計算していけば良いのでしょうか？
ご助言お願いしたいです！

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1～#3です。
自力解答を補足に書いて頂ければいいですが待っていてもいつになるか分からないので
以下に積分の経過を書いておきますので、式をよく理解しながら、追ってみてください。

S=2π∫[0,6/5]y√{1+(y')^2}dx
=2π∫[0,6/5][(3/2)+√{(7/2)^2-(x+2)^2}]√[1+(x+2)^2/{49/4-(x+2)^2}]dx
=2π∫[0,6/5][(3/2)+√{49/4-(x+2)^2}]√[1+(x+2)^2/{49/4-(x+2)^2}]dx
=2π∫[0,6/5][(3/2)+√{49/4-(x+2)^2}](7/2)/√{49/4-(x+2)^2}]dx
=2π∫[0,6/5][(21/4)+(7/2)√{49/4-(x+2)^2}]/√{49/4-(x+2)^2}]dx
=2π∫[0,6/5](21/4)/√{49/4-(x+2)^2}]dx+2π∫[0,6/5](7/2)dx
=(21π/2)∫[0,6/5] 1/√{49/4-(x+2)^2}]dx+2π(6/5)(7/2)
=(21/2)π∫[0,6/5] 1/√{49/4-(x+2)^2}]dx +(42/5)π
=(21/2)π[arcsin{(2/7)(x+2)}] [0,6/5] +(42/5)π
=(21/2)π[arcsin{(2/7)(16/5)}-arcsin{(2/7)2] +(42/5)π
A#2の
>S=10.5π{arcsin(10/17^(1/2))-arcsin(4/17^(1/2))}+21π
は次式に訂正します。
S=(21/2)π{arcsin(32/35)-arcsin(4/7)} +(42/5)π
≒44.383486

お礼

本当にすみません。ありがとうございます。
丁寧なご回答をいただきまして、理解することができました。
たくさん問題を解いて自力でできるようにします。本当にありがとうございます！

回答No.3

info22

#1,#2です。
小数は分かりにくいので分数に置き換えて計算すると計算間違い等が少なくなってやりやすいかと思います。
3.5=7/2
1.2=6/5
1.5=3/2
こうおいて、式を通分して整理してから、積分してみて下さい。
行き詰った場合は、やった所までの途中計算を補足に書いて質問してください。そうしていただけばチェックします。

> √(3.5^2-(x+2)^2）はx=3.5sin(t)と変数変換するので合っているでしょうか？
このような場合は
x+2=(7/2)sin(t)
と変数変換します。

なお、参考URLの不定積分も積分する上でのどんな変換をしたらいいかの目安になります。また積分公式を忘れた場合も簡単に積分公式を導いてくれます。
沢山演習問題をやれば、このような積分サイトのお世話にならなくても積分できるようになります。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足について
>S＝2π[1.2,0]{1.5+√(3.5^2-(x+2)^2)}√{1+((x+2)/√(3.5^2-(x+2)^2))^2}dx
>で合っているでしょうか？
積分の記号が無いのであっていません。他は合っていますが、計算をどんどんもっと進めてください。進めれば不定積分できる形になります。
不定積分して、積分の上限と下限を入れれば、定積分ができて、Rの部分の回転曲面の面積Sが出てきます。
S=10.5π{arcsin(10/17^(1/2))-arcsin(4/17^(1/2))}+21π

補足

回答いただきましてありがとうございます！
S＝2π∫[1.2,0]{1.5+√(3.5^2-(x+2)^2)}√{1+((x+2)/√(3.5^2-(x+2)^2))^2}dx　を、

S＝2π∫[1.2,0]{5.25/√(3.5^2-(x+2)^2)+3.5}dx　まで進めました。
ここから、S=10.5π{arcsin(10/17^(1/2))-arcsin(4/17^(1/2))}+21πへの式になりませんでした。まだ理解できていないようです。
いただいた回答から時間がたってしまい申し訳ないですが、可能でしたらお教えいただけないでしょうか？√(3.5^2-(x+2)^2）はx=3.5sin(t)と変数変換するので合っているでしょうか？

回答No.1

info22

>S＝2π[1.2,0]{1.5+√(3.5^2-(x+2)^2)}√{1+(1.5+√(3.5^2-(x+2)^2))^2}
間違っています。
間違った式を積分しても意味がありません。
まず正しい式を補足に書いてください。

参考URL：

http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/hyoumenseki.html

補足

すみません。教えてくださいましてありがとうございます。

S＝2π[1.2,0]{1.5+√(3.5^2-(x+2)^2)}√{1+(x+2/√(3.5^2-(x+2)^2))
^2}dx
で合っているでしょうか？