数学です

質問

(1)
次の極限値を求めよ
lim[x->0] {(1/x)-(1/tan(x))}/x
(2)
曲線y=(sin(x))^3(ただし-π<=x<=π)とx軸に囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)
rをr>1となる実数とし、a_kを以下のように定義する(k=1,2,...)
a_k = Σ(1/n^r) (n=1, ... , k)
この時lim[x->infinity](a_k)が収束することを証明せよ.
なおk>=2に対して、不等式1/k^r < ∫[k-1, k](1/x^r)dxが成立することを
利用して良い.

という問題があります.
誰か分からないでしょうか?

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
lim[x->0] {(1/x)-(1/tan(x))}/x=1/3

(2)
cos(x)=tとおく。
奇関数なので
I=∫[-π,π] |(sin(x))^3| dx
=2∫[0,π] (sin(x))^3 dx
=2∫[0,π] (1-(cos(x))^2)(-cosn(x))' dx
=2∫[1,-1] (1-t^2)(-1) dt
=2∫[-1,1] (1-t^2) dt
=4∫[0,1] (1-t^2) dt
=　…
=8/3

(3)
>lim[x->∞] (a_k)
では無くて「lim[k->∞] (a_k)」
ですね。　

lim[k->∞] (a_k)=lim[k->∞] Σ[n=1,k] (1/n^r) (r>1)
=lim[k->∞] {1/1^r +1/2^r +1/3^r + … +1/k^r }
<1+lim[k->∞] {∫[1,2] (1/x^r)dx +∫[2,3] (1/x^r)dx+…+∫[k-1,k](1/x^r)dx
=1+lim[k->∞] {∫[1,k] (1/x^r)dx
=1+∫[1,∞] (1/x^r)dx
=1+[(-1/(r-1))/x^(r-1)](x->∞) -[(-1/(r-1))/x^(r-1)](x->1)
r-1>0なので
=1+1/(r-1)=r/(r-1)

1/n^r>0 (n=1,2,3,　…)なので
a_kはkが増加すると増加級数である。
しかし、a_k には上限　r/(r-1) が存在する(r>1)。
つまり、k=1のとき最小値1をとり、kとともにa_kは増加するが
上限が存在するため、どこかの値に収束することになる。

お礼

ありがとうございます