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放物線と接線が作る図形の面積を求める公式（高校数学２B）
こんにちは。 センター試験対策用の問題集をみていたら、次のような解説がありました。説明がわからないので質問します。 Y軸 ｙ=ax^2+bx+C ｙ=mx+n ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・・ ・ ・・ ・・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ｘ軸 ・・ α ・γ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ γ S＝∫ ｛（ax^2+ｂx+c）-（ｍｘ+ｎ）｝ｄｘは、 α ２つのグラフがｘ＝αで接することに注目すると γ S＝∫ ｛a（ｘ-α）＾2ｄｘ ←なぜですか？ α と書き換えられる ←なぜですか？ ＜以下の説明＞ これは、Sがｙ＝a(x-α）＾2とｘ軸、ｘ＝γで囲まれた部分の面積であることを表している。 これらをαが０になるように全体的にズラして（平行移動して）やると、面積はｙ＝ax^2とｘ軸、ｘ＝γ-αで囲まれた部分になるため γ-α S＝∫ ax^2dx＝a/3×(γ-α）＾3 0 と求めることができる。 ＜こらは、面積を公式として利用するための証明の部分です。＞ ～質問は～ γ S＝∫ ｛a（ｘ-α）＾2ｄｘ ←なぜですか？ α と書き換えられる ←なぜですか？ です。よろしくお願いします。
- kyoto1867
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面積Sは正ですから 関数の大きい方から小さい方を引き 積分区間の下限から上限に向かって積分する ことから S=∫[α,γ] {(ax^2+bx+c)-(mx+n)}dx の式で与えられるということは α≦γ かつ a＞0 という前提条件がついているはずです。 本題に入って ２つのグラフが x=α で接することから (ax^2+bx+c)-(mx+n)=0 は重解 x=α をもつ。 つまり (ax^2+bx+c)-(mx+n)=a(x-α)^2 （≧0） と因数分解できるわけです。 この式は被積分関数ですから x=αからγまで（ここでα≦γ）の積分は S=∫[α,γ] {(ax^2+bx+c)-(mx+n)}dx =∫[α,γ] a(x-α)^2 dx となります。
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- nettiw
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>> ｛a(x^2)+bx+c｝-｛mx+n｝ =a(x-α)(x-β) ＜α=β＞ >> =a｛(x-α)^2｝ 。
お礼
明快な回答ありがとうございます。 ＞=a(x-α)(x-β) ↑多分、２実数解があればこうなるのでしょうね。
- BookerL
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f(x)=ax^2+ｂx+c , g(x)=mx+n とします。 y=f(x) y=g(x) が x=α で接するので f(α)=g(α) ……(1) と f'(α)=g'(α) ……(2) が成立します。 (1)(2) は aα^2 + bα + c = mα + n ……(1)' 2aα + b = m ……(2)' となりますので、まず (2)' を (1)' に代入して整理し、 n = c - aα^2 ……(1)'' を得ます。 積分される式 （ax^2+ｂx+c）-（ｍｘ+ｎ） の m と n に (2)' と (1)'' を代入して整理すると、結論の式になります。
お礼
回答ありがとうございます。 確かに結論の式がみちびけました。 ところで、これはどういう考え方で進めているのでしょうか？ 参考までに教えていただけるとありがたいです。
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お礼
回答ありがとうございます。 ＞２つのグラフが x=α で接することから (ax^2+bx+c)-(mx+n)=0 は重解 x=α をもつ。 つまり (ax^2+bx+c)-(mx+n)=a(x-α)^2 （≧0） ↑ありごとうございます。やっとわかりますた。