高校数学の問題です

質問

C1:ｙ＝－3x^2+3

C2:y＝ｘ^2-2ax-2a^2+3　　　　　　（　0<a<1　）

(1)　C1とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ

(2)aが0<a<1の範囲で動くときC2の頂点の軌跡を求めよ

(3) C1とx軸が囲む面積がC2によって二等分される時のaの値を求めよ

この問題で特に(3)が分からないので
答えと解き方を教えてください

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞C1:ｙ＝－3x^2+3

＞C2:y＝ｘ^2-2ax-2a^2+3　　　　　　（　0<a<1　）

＞(1)　C1とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ
-1≦ｘ≦1の範囲で積分すると、面積＝4　このとき、0≦ｙ≦3

＞(2)aが0<a<1の範囲で動くときC2の頂点の軌跡を求めよ
ｙ＝ｘ^2-2ax-2a^2+3
＝(ｘ^2－2ａｘ＋ａ^2)－ａ^2ーａ^2＋3
＝(ｘ－ａ)^2－3ａ^2＋3
頂点ｘ＝ａのとき、ｙ＝－3ａ^2＋3　ａを消去すると、
頂点の軌跡は、
ｙ＝－3ｘ^2＋3（0＜ｘ＜1）

＞(3) C1とx軸が囲む面積がC2によって二等分される時のaの値を求めよ
C1とC2の交点を求めると、
ー3ｘ^2＋3＝ｘ^2－2ａｘ－2ａ^2＋3より、
4ｘ^2－2ａｘ－2ａ^2＝0
2ｘ^2－ａｘ－ａ^2＝0
(2ｘ＋ａ)(ｘ－ａ)＝0 より、ｘ＝-ａ/2，ａ

ｘ＝ａのとき、ｙ＝-3ａ^2＋3　だから、
0＜ａ＜1のとき、0＜-3ａ^2＋3＜3　だから、
交点（ａ，-3ａ^2＋3）は、-1≦ｘ≦1，0≦ｙ≦3の範囲にある。

ｘ＝-ａ/2のとき、ｙ＝-3ａ^2/4＋3　だから、
0＜ａ＜1のとき、－1/2＜-ａ/2＜0，　9/4＜-3ａ^2/4＋3＜3　だから、
交点（-ａ/2，-3ａ^2/4＋3）は、-1≦ｘ≦1，0≦ｙ≦3の範囲にある。

-1≦ｘ≦1，0≦ｙ≦3の範囲で、C1とC2は２つの交点で交わり、
C2のグラフは、頂点のｙ座標が、0＜-3ａ^2＋3＜3　だから、
-ａ/2≦ｘ≦ａで、ｘ軸より上，C1より下にあるから、
面積＝{-a/2→a}∫（C1－C2）dx＝4/2＝2　とおける。

{-a/2→a}∫（C1－C2）dx
＝{-a/2→a}∫｛－3x^2+3－（ｘ^2-2ax-2a^2+3)｝dx
＝{-a/2→a}∫（-4ｘ^2＋ax＋2a^2)dx
＝［(-4/3)ｘ^3＋aｘ^2＋2a^2ｘ］{-a/2→a}
＝(9/4)ａ^3
(9/4)ａ^3＝2より、ａ^3＝8/9（0＜ａ^3＜1）
よって、ａ＝2/9^(1/3)＝2/3^(2/3)

でどうでしょうか？　確認してみてください。