数学の問題です

質問

1 放物線 y=x(1-x) とx軸とで囲まれる部分Aの面積を求めよ。

次にAの面積を放物線 y=ax^2 (a>0) が2等分するようにaの値を定めよ。

ちなみにAの答えである 6分の1 は求めれたのですが

aの値がわかりません。

答えは a=√2-1 （√の中身は2です）

考え方や途中式を教えてください。お願いします、

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

暇だったのでやってみました。

x(1-x)=ax^2
(a+1)x^2-x=0
x{(a+1)x-1}=0
x=0,1/(a+1)

f(x)=x(1-x)-ax^2=-(a+1)x^2+x
F(x)=-(a+1)/3*x^3+1/2*x^2+C
F(1/(a+1))=-1/{3(a+1)^2}+1/{2(a+1)^2}+C=1/{6(a+1)^2}+C
F(0)=C
F(x)[0,1/(a+1)]=F(1/(a+1))-F(0)=1/{6(a+1)^2}

これが、1/12になればいいので、

1/{6(a+1)^2}=1/12
6(a+1)^2=12
(a+1)^2=2
a+1=±√2
a=±√2-1
題意よりa>0なので、
a=√2-1

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

nattocurry

＞考え方や途中式を教えてください。

とのことですが、面倒なので考え方だけ。

y=x(1-x)とx軸で囲まれる部分の面積はどうやって求めましたか？

y=x(1-x)とy=0との交点を求めるために、x(1-x)=0を解いて、
その範囲内で、x(1-x)-0を積分したんじゃないですか？

それと同様に、
y=x(1-x)とy=ax^2との交点を求めるために、x(1-x)=ax^2を解いて、
その範囲内で、x(1-x)-ax^2を積分して、求めた面積が1/12になるようなaを求めればよいです。

お礼

ありがとうございました。

補足

すみません　　　範囲がわからいので
範囲を教えてください。

積分等はわかります。