囲まれる図形の面積

質問

F(ｘ）＝ｘ（ｘー２）＋ｘ絶対値ｘー２a
関数ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸で囲まれる図形の面積をＳ（a)とするとき、以下の問いに答えよ。ただし、a≧０とする。
（１）a=0のとき、関数ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸との交点を求めよ。また、Ｓ（０）の値を求めよ。
交点は求められましたが、Ｓ（０）の意味がわかりません。
（２）Ｓ（１/２）の値を定めよ
わかりません
（３）Ｓ（ａ）を求めよ。
わかりません
（４）Ｓ（ａ）を最大にするaの値を求めよ
わかりません

わからないところの解答解説をお願いいたします。いつもお世話になっております。
できれば丁寧に教えていただけるとありがたいです

回答No.1

noname#232123

F(x)=x(x-2)+x*|x-2a|、(a≧0) として考えます。
これは、
F(x)=2x{x-(1+a)}....x≧2a のとき、
F(x)=2(a-1)x....x≦2a のとき、
となります。

F(0)=2x(x-1)...(x≧0), -2x...(x≦0) ですから、
S(0)=∫[0 to 1]-(2x^2-2x)dx=1/3.

a=1/2 のとき、
F(x)=2x(x - 3/2), (x≧1),
F(x)=-x, (x≦1).
ですから、
S(1/2)=1/2+∫[1 to 3/2]-(2x^2+3x)dx=1/2+7/24=19/24.

最後に一般の「a」の場合、
直線 F(x)=2(a-1)x はa=1 の前後で傾きが負から正へと変わります。
0<a<1 の場合は、2a<1+a ですから、[0, 2a] で直線、[2a, a+1] で２次関数となっていますから、x軸とF(x)の囲む図形が存在します。よって、
S(a)=(1/2)*2a*4a(1-a)+∫[2a to 1+a]-{2x^2-2(1+a)x}dx
=4a^2(1-a) - (7/3)a^3+a^2+a+1/3
=(-7/3)a^3+a^2+a+1/3.
dS/da=-7a^2+2a+1=0 とおいて、S((1+2√2)/7) が最大値となります。

また、1<a のときは、直線の傾きは正であり、1+a<2a ですから、F(a)=0 です。(a=1のときも同様).
----------------------
※ 計算ミス、タイプミスがありえます。