レムニスケートを回転させたときの表面積

質問

2定点(-a,0)と(a,0)からの距離の積がa^2である点の軌跡について答えよ。

1.この平面図形の方程式を求めよ。
2.1.の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の表面積を求めよ。

1.は(x^2+y^2)^2-2(a^2)(x^2-y^2)=0となりました。2π∫f(x)√{1+(f'(x))^2}dxを使おうと思い、全微分でdy/dxを出しました。-{x^3-(a^2)x+x(y^2)}/{y^3+(a^2)y+(x^2)y}。yが残っていてどのように積分すればいいのかわかりません。極座標に変換するべきなのでしょうか。表面積の求め方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

take008

＞極座標に変換するべきなのでしょうか。
そうですね。第１象限（実は 0≦θ≦π/4）の部分だけでいいですが，極座標で表すと，結局ｘ，ｙがθだけで表せます。
計算は，cosθ　を 2/√3 cosφ で置換すればできると思います（実際に計算してないので数値が違っているかもしれません）。

補足

f(θ)=2(a^2)cos2θ-r^2、f'(θ)=-4(a^2)sin2θで、2π∫f(θ)√{1+(f'(θ))^2}dθとするのですか？すみません、cosθをいつ2/√3に置換するのかわかりません…。