< (n - L + 1)/n * (1/2) epsilon 解析演習
- 解析演習本の独学中に、証明の途中でわからなくなった部分があります。
- 特に、最後の不等式についての仮定や導出方法が理解できません。
- どなたかヒントや説明を教えていただけると助かります。
- ベストアンサー
< (n - L + 1)/n * (1/2) epsilon
解析演習という本を独学しているのですが、解説がわからないため質問いたします。 問題は以下のものです。 ----- lim{n to infinity} a_n = alphaのとき lim{n to infinity}(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = alpha を証明せよ。 ----- この問題の解説において、途中まで読み進めたのですが、分からない部分がでました。 以下は、解説の分からないところまでです。 ----- [解説（途中まで)] (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n - alpha = {(a_1 - alpha) + (a_2 - alpha) + ... + (a_n - alpha)} / nであるから、lim a_n = 0と仮定してよい. 任意にepsilon > 0をとる。L<=nとなるとき、|a_n| < (1/2)epsilonが成り立つように整数Lを決め、L<=NをN<=nで、 |a_1 + a_2 + ... + a_{L-1}| / n < (1/2)epsilon となるようにとっておく。このとき、 |a_L + ... + a_n| / n <= (|a_L| + ... + |a_n|) / n < {(n - L + 1) / n} * (1/2)epsilon 最後の不等式の{(n - L + 1) / n} * (1/2)epsilon 以下というのがどこから導かれたのかさっぱりわかりません。お分かりの方は何らかのヒントをお願いいたします。
- flex1101
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(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n でn個ある分子のうち始めのL-1個までをひとかたまりにして (a_1 + a_2 + ... + a_[L-1])/nとすれば残りの(a_L + a_[L+1] + ... + a_n)/nにおける 分子の個数はn-(L-1)=n-L+1個になる。 各|a_n|＜ε/2なるようにL(L≦n)をとっているから |a_L + a_[L+1] + ・・・ + a_n|/n ＜(|a_L| + |a_[L+1]| + ・・・ + |a_n|)/n ＜ε/2・(n-L+1)/n (ε/2が(n-L+1)個)
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