< (n - L + 1)/n * (1/2) epsilon

質問

解析演習という本を独学しているのですが、解説がわからないため質問いたします。

問題は以下のものです。
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lim{n to infinity} a_n = alphaのとき lim{n to infinity}(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = alpha
を証明せよ。
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この問題の解説において、途中まで読み進めたのですが、分からない部分がでました。
以下は、解説の分からないところまでです。
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[解説（途中まで)]
(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n - alpha = {(a_1 - alpha) + (a_2 - alpha) + ... + (a_n - alpha)} / nであるから、lim a_n = 0と仮定してよい. 任意にepsilon > 0をとる。L<=nとなるとき、|a_n| < (1/2)epsilonが成り立つように整数Lを決め、L<=NをN<=nで、
|a_1 + a_2 + ... + a_{L-1}| / n < (1/2)epsilon
となるようにとっておく。このとき、
|a_L + ... + a_n| / n <= (|a_L| + ... + |a_n|) / n < {(n - L + 1) / n} * (1/2)epsilon

最後の不等式の{(n - L + 1) / n} * (1/2)epsilon 以下というのがどこから導かれたのかさっぱりわかりません。お分かりの方は何らかのヒントをお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n
でn個ある分子のうち始めのL-1個までをひとかたまりにして
(a_1 + a_2 + ... + a_[L-1])/nとすれば残りの(a_L + a_[L+1] + ... + a_n)/nにおける

分子の個数はn-(L-1)=n-L+1個になる。
各|a_n|＜ε/2なるようにL(L≦n)をとっているから
|a_L + a_[L+1] + ・・・ + a_n|/n
＜(|a_L| + |a_[L+1]| + ・・・ + |a_n|)/n
＜ε/2・(n-L+1)/n (ε/2が(n-L+1)個)

お礼

ありがとうございます!