- 締切済み
三角形の面積の射影と方向余弦について
３次元空間内に△OABがあり、その面積をSとします。 △OABがつくる平面の法線単位ベクトルをn=(cosα、cosβ、cosγ)とするとき、 △OABをx-y平面に射影してできた△OA'B'の面積S'は S'=S |cosγ| となる・・・らしいのですが、その理由がわからずにいます。 n=(cosα,cosβ,cosγ) a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3) a'=(a1,a2,0) ：ベクトルaをx-y平面に射影したベクトル b'=(b1,b2,0) ：ベクトルbをx-y平面に射影したベクトル とすると、外積の利用により S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)| S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)| などがわかります。 そこから、どうやって S'=S |cosγ| に辿りつけるでしょうか？
- tsukita
- お礼率99% (127/128)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数5
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
みんなの回答
- hiccup
- ベストアンサー率27% (12/44)
申し訳ない。間違えてた。 君の書いている通り dxdy = cosθ dudv であった。 y(v2) - y(v1) = cosθ(v2 - v1) だからね。締め切られてなくて助かったよ。
- hiccup
- ベストアンサー率27% (12/44)
別人だけど、書くよ。 平行でない２つの平面を考える。ひとつを水平面とし、もうひとつを斜面とする。なす角をθ（鋭角）とする。さらに、共有線を東西に設定し、斜面は北に向かって上るものする。 水平面の座標を、東向きを x の方向、北向きを y の方向として決め、斜面の座標を、東向きを u の方向、北に上る方向を v の方向とする。すると面素の関係は dudv = cosθ dxdy なので、斜面にある図形が水平面に投影されると、その面積は cosθ 倍になる。 質問の設定に当てはめれば、cosγ>0 のときは θ=γ、cosγ<0 のときは θ＋γ＝π なので |cosγ|=cosθ である。これは、z 軸とベクトル n に平行な面で切断した図でみるとよい。γは z 軸とベクトル n のなす角と考えることができる。 面素がピンと来なければ、東西、南北に平行な線分でできた大小の長方形で図形を充填し、その面積を級数で表せば、cosθ でくくれることから示すことができる。あとは図にかいて、cosθ と cosγ の関係を調べればよい。 私は以上のように考えました。
お礼
回答いただきありがとうございます。 ベクトルの問題を微積に結びつけて考えるところが私にとってはとても斬新です。 “面素”という概念は、微積の定義などを知っているので、私なりのイメージを持つことができました。 面積がcosθ倍されるということが、ちょっとだけ直観として理解できたような気がします。 ありがとうございました。 ※なお、回答の中の dudv = cosθ dxdy は dxdy = cosθ dudv ではありませんか？ 自信ないですが・・・。
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
＞S=1/2×|(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)| ベクトル(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=↑Nと書くと ↑N=|↑N|*↑nだから ↑n=↑N/|↑N|=((a2b3-a3b2)/|↑N|,(a3b1-a1b3)/|↑N|,(a1b2-a2b1)/|↑N|) =(cosα、cosβ、cosγ) cosγ=(a1b2-a2b1)/|↑N| |a1b2-a2b1|=|↑N|*|cosγ| S=(1/2)*|↑N|だから S'=1/2×|(0,0,a1b2-a2b1)|=|a1b2-a2b1|/2 =(1/2)*|↑N|*|cosγ|=S*|cosγ|
お礼
回答をいただきありがとうございます。 回答の計算過程を読ませていただき、 式だけを見ると、 S'=S*|cosγ| は当たり前の式に思えてきました。 外積の大きさが面積を表していて、 さらにｘ－ｙ平面であれば、ｚ軸と成す角γの！ その余弦をかけると、ｘ－ｙ平面へ射影した図形の面積になる・・・！ 式では当たり前でも、直観としては、私にはとても理解できません。 外積って不思議ですね。 もし、式変形でなく、図形的な説明などがあったら、 ぜひ教えてください。
関連するQ&A
- 数学Ｂの問題（外積を使わずに）
以下の問題について、教えてください。 P=(12,4,3)に垂直な空間ベクトルA,B があり、△OABの面積をSとするとき、 △OABをxy平面に射影した△OA'B'の面積S'を Sを用いて表しなさい。 なお、ベクトルPがx,y,z軸の正の方向と成す角の大きさを α,β,γとします。 この問題の答えは、 S'=S*cosγ だと思いますが、 これを外積を利用せずに解くことはできますか？ 12a1+4a2+3a3=0 12b1+4b2+3b3=0 などを利用する？？ ************************************************************** 以下、計算のために、位置ベクトルとしての成分を整理しておきます。 P=(12,4,3) N=P/|P|=(cosα,cosβ,cosγ) ： 平面OABの法線単位ベクトル A=(a1,a2,a3) B=(b1,b2,b3) A'=(a1,a2,0) B'=(b1,b2,0) ************************************************************** 外積を使えば、 A×B = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) = |A×B|*N = |A×B|*(cosα,cosβ,cosγ) より、a1b2-a2b1=|A×B|*cosγ よって、 S'=1/2*|A'×B'| =1/2*|(0,0,a1b2-a2b1)| =1/2*|(0,0,|A×B|*cosγ)| =1/2*|A×B|*cosγ =S*cosγ と計算できます。（cosγ=3/13です） しかし、以上のように外積の性質を利用した解法は、 わざわざベクトルPが成分表示されている意味がありません。 **************************************************************
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析の面積ベクトルを学習しているのですが
ベクトル解析の面積ベクトルの正射影の面積について XYZ空間内に平面πを定めてこのπ上に平曲線cで囲まれる図形をDとおきその面積をsとおく。 このとき、平面πに垂直で大きさ1の正の向きのベクトルを単位法線ベクトルと呼び、これをnと表すことにする。すると面積ベクトルS=snとなる。このときn=[cosα,cosβ,cosγ](0≦α≦π,0≦β≦π,0≦γ≦π)さらに、基本ベクトルi=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]とするとDのxy平面への正射影の面積は|i・S|=s|cosα|となる。 (jS,kSは省略) ここで、平面πの定め方について疑問があります。まずxy平面と平行な平面πを考えます。 このとき単位法線ベクトルnはz軸と平行です。 そしてここからが問題ですが、平面πを生成するベクトルを考えます。このベクトルの中のひとつをaベクトルとしてaベクトルとx軸との角度はαとします。そして、aベクトルを回転軸に平面πを回転させます。こうすると、この平面πはαβγだけで表すことができるのでしょうか？ また、正射影を考えたときにその面積は、|i・S|=s|cosα|にはならないと思うのですが勘違いしているかもしれないので、どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトルの内積(余弦定理、鏡映)の問題を教えて下さ
Rⁿの内積に関する問題(余弦定理、鏡映)を教えて下さい。 この問題が分からず困っています 問題： 次の、Rⁿの内積に関する問題を解きなさい。 ただし、原点をOとして、点Xに対するベクトルOX をxと表わしている。 (1)-|a||b|≦a・b≦|a||b|より、cosθ=(a・b)/(|a||b|)でθ∊[0,π)を定義すると、θは幾何的なaとbのなす角と一致する事は既知として、△OABの∠AOB=θに関する余弦公式を示せ。 (ベクトルABをaとbを用いて書くとよい) (2)点Aを通り、法線ベクトルnを持つ超平面Πに関する鏡映Sπ：Rⁿ→Rⁿは Sπ(x)=x-{2(x・ｎーa・ｎ)/(n・n)}・n で与えられる。鏡映は等距離変換であること、つまり|Sπ(x)-Sπ(y)|=|x-y|を示しなさい という問題です。 分かる方、教えて下さい。お願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル場の面積分の問題です。
３次元のベクトル場(i,j,k) である、A=i+j , B=yi+xj それぞれについて、 (1)ｙz平面上の単位円についての面積分を求めよ。ただし、単位法線ベクトルの向きはx方向とする。 (2)原点中心の半径１の球の表面についての面積分を求めよ。 という問題なのですが、 積分する面をパラメータ表示してやってみたところ、 (1)(x,y,z)=(0,cosθ,sinθ) (0≦θ≦2π) N=(1,0,0) (ベクトルを大文字で表しました;) A・N=(1,1,0)・(1,0,0)=(1,0,0) B・N=(y,x,0)・(1,0,0)=(y,0,0) ∮A・NdS の dsの部分の求め方がいまいちわかりません； (2)では (x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) （0≦θ≦π,0≦φ≦2π) ds=|(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)×(-sinθsinφ,sinθcosφ,0)| dθdφ =sinθ dθdφ N=(x/2,y/2,z/2) A・N=x/2=(1/2)・sinθcosφ ∮A・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^2・cosφ dθdφ =(π/4)・∫cosφ dφ =0? B・N=ｘｙ=(1/2)・(sinθ)^2・sin2φ ∮B・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^3・sin2φ dθdφ =(4/3)・∫sin2φ dφ =0? となったのですがどこが間違っているかわかりません； どうか教えてくださいm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- |A→×B→|＝|A→B→|sinθの証明問題
A→= x_1i→ + y_1j→ B→= x_2i→ + y_2j→ とすると、A→、B→はxy平面上のベクトルである。 簡単のため、x_1,x_2,y_1,y_2は全て正であり、 y_2/x_2 > y_1>x_1 とする。 またθはA→とB→がなす角である (a) A→×B→を計算しなさいこのベクトルの向きはどうなるか (b) xy平面上で、原点O、および点A(x_1,y_1), 点B(x_2, y_2)を結んで作られる三角形の面積sを図のように補助線を引き、三角形と台形の面積を計算することにより求めなさい。 (c) 三角形OABの面積SがBからOAに推薦を下すことによりS＝1/2 |A→||B→|sinθとなることを示しなさい (d) (a)～(c) の結果を用いて|A→×B→|＝|A→||B→|sinθであることを示しなさい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解説お願いします！(ベクトルと三角関数です)
(1)三角形ＯＡＢにおいて、 ＯＡ＝a、ＯＢ＝b とする。 △ＯＧＰの面積をＳとするとき，△ＯＡＢの面積をＳで表せ。 (2)次の不等式を解け。 cos(x/2＋π/6)＜－√3/2
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
お礼がすっかり遅くなりました。 丁寧に補足いただきありがとうございます。 考え方が確認できてよかったです。