空間版、表面積が一定で体積最大の四面体は？

質問

ある平面があったとします。

三辺の和が一定の三角形で面積最大のものは正三角形である

という問題があります。
答は簡単に求めることができます。

2s=a+b+c
とおく。
{(s-a)+(s-b)+(s-c)}/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3) (相加平均≧相乗平均)
だから
(3s-2s)/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3)
∴　(s-a)(s-b)(s-c)≦s^3/27
∴　s(s-a)(s-b)(s-c)≦s^4/27
∴　{s(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/2)≦s^2/(3√3)
ヘロンの公式により左辺は3角形の面積。等号はa=b=cの時成り立ちます。

次に３次元空間があったとします。

４つの三角形の面積の和が一定の四面体で体積最大のものは正四面体である

平面の場合とは異なる考えがいると思いますが、どのように示せばよいのでしょうか?

回答No.2

tarame

No.1の回答を撤回します。
表面積が一定ですので、証明になってませんでした。

回答No.1

tarame

４つの面をＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄとする。
Ａを底面、高さをｈとしたとき、
高さが一定のとき体積が最大となるのは、Ａが正三角形のときである。
同様にして、Ｂ,Ｃ,Ｄを正三角形にしたとき体積が最大となる。
ゆえに、
表面積が一定である四面体の中で体積が最大のものは、正四面体である。