解決済み

証明

  • 暇なときにでも
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お礼率 74% (38/51)

凸な角錐の頂点Pに会する各多角形の,内角の和は4直角より小さい。(原論)
証明はむずかしいのでしょうか。
証明以外でわかりやすく合っていることを説明可能でしょうか。
もちろん証明さえあれば説明はいりませんが。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 39% (13/33)

多角形の各内角が全て180度未満(星型等ではない)場合で、
多角錐の頂点から下ろした垂線の足が多角形の中にある場合。

底面の多角形の角頂点をA,B,C・・・とし、多角錐の頂点をTとする。
Tから底面に下ろした垂線の足をQとする。
多角形の各頂点とQを結ぶと、Qに会する角度の合計は360度(4直角)である。
ここで、多角形の辺ABに注目し、角度AQBと角度ATBを比較する。
三角形AQBと三角形ATBは以下の関係にある。

辺ABは共通なので当然長さは同じ。
辺AQ<辺AT・・・(高さが解ればこの2数の関係は三角関数から明らか)
辺BQ<辺BT・・・(  同上  )

上記条件より、角度ATB<角度AQB

多角形の他の辺についても同様の事が言え、それらの合計同士の比較をすると、

Tに会する角度の合計<Qに会する角度の合計=360度(4直角)



こんなんでどうでしょう?
お礼コメント
mina5

お礼率 74% (38/51)

納得いく説明,感服いたしました。
すっきりいたしました。今夜はもう暑くもなく、よく眠れそうです。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2004-08-26 18:34:26
感謝経済、優待交換9月20日スタート

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 24% (14/57)

点Pに会する各多角形の、内角の和
  ↓
点Pに会する、各多角形の内角の和


展開図の、頂点Pの周辺をイメージしてください。
内角の和が4直角=360°以上になるということは・・・
補足コメント
mina5

お礼率 74% (38/51)

紙を折って、織り込んで錐を作ると、凸出ない部分がでてくるので,証明に凸性をうまくつかうんだなということは想定できましたが。イメージだけでは今ひとつピンときませんでした。
投稿日時 - 2004-08-26 18:15:55
お礼コメント
mina5

お礼率 74% (38/51)

ありがとうございました。
投稿日時 - 2004-08-26 18:19:21
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