三角関数

質問

数学サイトで問題を解いていたら分からない所があったので質問させていただきます。

定円に内接するｎ角形の面積で最大のものは、内接正ｎ角形の面積であることを示せ

解説
中心をO，半径をr, 各頂点をA1, A2, ・・・An, 角A1OA2=θ1, 角A2OA3=θ2・・・とする。n角形の面積は1/2r^2（sinθ1+sinθ2+・・・+sinθn)となる。ｙ＝sinθは凸関数なので, 相加相乗の式が成り立ち, 等号は, sinθ1=sinθ2=・・・=sinθnのときになる。

解説の「ｙ＝sinθは凸関数なので」以降から分かりません。
凸関数について自分で調べましたが分かりません。
相加相乗の式は高１のときに習ったから知ってはいるんですが
どなたかわかる方教えていただけないでしょうか

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

凸関数の説明は面倒なので、下のＵＲＬを見てください。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch04/node14.html

＞ｙ＝sinθは凸関数なので, 相加相乗の式が成り立ち, 等号は, sinθ1=sinθ2=・・・=sinθnのときになる。

ｙ＝sinθが凸関数なのは、0＜θ＜π　の範囲に限る。
但し、凸関数の性質を使って、相加平均・相乗平均を証明は出来るが、同じ内容ではない。
それを、相加相乗として同一視する事には問題がある。

さて、ｙ＝sinθは0＜θ＜π　の範囲で上に凸であるから、（sinθ1+sinθ2+・・・+sinθn）≦n*sin{（θ1＋θ2＋‥‥‥＋θn）/n}が成立する。
θ1＋θ2＋‥‥‥＋θn＝2πであるから、（sinθ1+sinθ2+・・・+sinθn）≦n*sin{（2π）/n}が成立する。
等号は、 sinθ1=sinθ2=・・・=sinθn　即ち、θ1＝θ2＝‥‥‥＝θnの時。

お礼

回答頂きありがとうございます。おかげさまでようやく理解できました。