立方体の切断と相似

質問

空間での三角形の相似条件がわからないので質問します。
添付した図は、１辺の長さが6の立方体です。AM=3,AN=2となる2点M,Nを図のようにとって、３点M,N,Hをとおる平面を考える。この平面とBCの延長との交点をL、この平面とFGとの交点をKとする。
GKの長さをもとめなさい。という問題です。
三角形HGKと三角形MANは相似だから、相似比はHG:MA=2:1よりGK=2AN=4。と解説にあったのですが、三角形HGKと三角形MANは相似というのがわかりません。平面では、対応する辺がそれぞれ平行な三角形は相似になるという定理を見つけたのですが、空間(平行な2平面のそれぞれ)にある三角形に、その定理から相似を証明しようとすると、一方の平面にもう一方から三角形を移動しないといけないと考えたのですが、そんなことができるのかわかりませんでした。どなたか、三角形HGKと三角形MANは相似の理由を、中学生にもわかる程度の知識で教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

三角形の相似条件は
(A)3組の辺の比がそれぞれ等しい
(B)2組の辺の比とその間の角が等しい
(C)2組の角がそれぞれ等しい
です。
三角形HGKと三角形MANで
角HGK=角MAN=(直角)
角GHK=角AMN（AMとGHが平行でMNとHKが平行だから）
です。これで条件(C)が言えました。

お礼

お返事ありがとうございます。考えなおしてみます。

回答No.2

dedypraja

空間においても、平面上の相似条件が成り立っている場合、その平面内にある三角形は相似になります。具体的には、対応する辺の比が等しい場合、角度も等しくなるため、全体的な形状が似通っているということになります。

今回の場合、三角形HGKと三角形MANの相似比を求めると、
HG:MA=2:1
となっています。この比が等しいため、HGKとMANは相似になります。

お礼

お返事ありがとうございます。