立方体の断面と断面積

質問

立方体の断面図が6角形のときの、１辺の長さがわからないので質問します。
問題は、
図のように１辺の長さが1の立方体の辺AB上に点Pがあり。AP=xとおく。３点B,C,Dを通る平面に平行で、点Pを通る平面によって立方体を切るとき、切り口の6角形PQRSTUについて、その面積をyとするとy=√3/2(ア)となるがわかりません。
解説図からあてずっぽうで考えると、BP=BQ ∠BPQ=∠BQP=45°で３角形BPQは底角45°の直角２等辺三角形になっているのだとおもいます。
３点ABCを含む２つの側面で考えたりもしましたが、PRを結ぶ直線上に点Qがあるとは限らないので、∠BQPは何度かわかりません。
またBDとPUは平行だから、∠AUP=∠ADB=45°よって３角形APUは底角45°の直角２等辺三角形になっている、同様にしてBCとQRは平行から、QRを斜辺とする、底角45°の直角２等辺三角形ができる。同様にしてCDとSTは平行からも辺の比が
１：１：√2の直角２等辺三角形ができる。ということはわかりました。
どなたか、∠BPQ(∠BQP)=∠CRS(∠CSR)=∠DTU(∠DUT)=45°を証明してください。おねがいします。
アは1+2x-2x^2です。

回答No.7

f272 · ベストアンサー

#3です。

> 平面APQRSTは平面PQRSTU,平面ABCDは平面ABDではないんですか？

そのとおりです。書き間違いですね。

> BD∥RSでもB,D,R,Sが同一平面上にないので、同位角や錯角が等しいとは言えない気がします。

B,D,R,Sは同一平面上にありますよ。この問題では特にそれを使うことはないでしょうが...
たとえば三角形CRSを上方に平行移動して平面ABD上にもってきて三角形C'R'S'になったとします。そうすると平面ABD上での話になって同位角や錯角が等しいという話ができるでしょう。角C'DB=角C'S'R'=45度です。
角CSR=角C'S'R'は明らかでしょうから角CSR=45度です。

> なにか平行な平面に平面が交わるときの角度の関する定理があれば教えてください。

さあ，よくわかりません。

お礼

三角形CRSを平面ABD上に平行移動する。という考えありがとうございます。
また、丁寧なお返事もありがとうございます。

回答No.6

178-tall

>平面の方程式がわかりません。
　　　　↓ 参照 URL
「空間における平面の方程式」など、ご覧ください。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/3d_plane1.htm

お礼

ベクトルを使って、平面の方程式を導くんですね。知識が増えました、ありがとうございます。

回答No.5

178-tall

>解説図からあてずっぽうで考えると、BP=BQ ∠BPQ=∠BQP=45°で３角形BPQは底角45°の直角２等辺三角形になっているのだとおもいます。
　　　↑
この推論は「当たり！」です。

「1 辺の長さが 1 の立方体」にて、
　A を原点 (0, 0, 0) とし
　AB を x 軸 (x, 0, 0)
　AD を y 軸 (0, y, 0)
　A から下の辺を z 軸 (0, 0, z)
とみなすと？

△ABC を含む平面π1 の方程式 ax+by+cz+d=0 は？
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, -1) の 3 点を通るから、
　a+d=0
　b+d=0
　a+b-c+d=0
が成立つ。
つまり a=b=c=-d が成り立ち、π1 の方程式 x+y+z-1=0 を得る。

「6 角形 PQRSTU 」は平面π1 に平行だから、それを含む平面π2 の方程式は、
　x+y+z+e=0
と表せる。平面π2 は点 (xo, 0, 0) を通るから、xo+e=0 → e=-xo 。
つまり、平面π2 の方程式は
　x+y+z-xo=0　　　…(1)

点 Q は、式(1) に (1, 0, z) を代入し、
　1+z-xo=0 → z=-(1-xo)　　…(2)

つまり、BQ = 1-xo = PB が成立つ。

お礼

平面の方程式がわかりません。今度調べてみようとおもいます。解説ありがとうございました。

回答No.4

jcpmutura

立方体の奥の面の左下の頂点を原点とする
手前方向をx軸正方向
右方向をy軸正方向
上方向をz軸正方向にして
A=(0,0,1)
B=(1,0,1)
D=(0,1,1)
C=(1,1,0)
P=(X,0,1)
とする
(変数のxと定数のxを区別するために定数のxをXにする)

平面BCDの法線ベクトルは(1,1,1)だから
平面BCDの方程式は
x+y+z=a
点Bを通るから
1+0+1=a
a=2
平面BCDの方程式は
x+y+z=2

平面PQRSTUはBCDと平行だから
平面PQRSTUの法線ベクトルは(1,1,1)だから
平面PQRSTUの方程式は
x+y+z=b
点Pを通るから
X+0+1=b
b=X+1
平面PQRSTUの方程式は
x+y+z=X+1

立方体面APBQの方程式は
y=0

立方体面BQRCの方程式は
x=1

立方体面CRSの方程式は
z=0

立方体面CSTDの方程式は
y=1

立方体面AUDTの方程式は
x=0

立方体面APBDUの方程式は
z=1

Qは3面x+y+z=X+1,y=0,x=1,の交点だから
1+0+z=X+1
z=X
∴
Q=(1,0,X)

Rは3面x+y+z=X+1,x=1,z=0,の交点だから
1+y+0=X+1
y=X
∴
R=(1,X,0)

Sは3面x+y+z=X+1,y=1,z=0,の交点だから
x+1+0=X+1
x=X
∴
S=(X,1,0)

Tは3面x+y+z=X+1,x=0,y=1,の交点だから
0+1+z=X+1
z=X
∴
T=(0,1,X)

Uは3面x+y+z=X+1,x=0,z=1,の交点だから
0+y+1=X+1
y=X
∴
U=(0,X,1)

|PQ|=|P-Q|=|(X,0,1)-(1,0,X)|=|1-X|√2
|QR|=|Q-R|=|(1,0,X)-(1,X,0)|=X√2
|RS|=|R-S|=|(1,X,0)-(X,1,0)|=|1-X|√2
|ST|=|S-T|=|(X,1,0)-(0,1,X)|=X√2
|TU|=|T-U|=|(0,1,X)-(0,X,1)|=|1-X|√2
|UP|=|U-P|=|(0,X,1)-(X,0,1)|=X√2

|BP|=|B-P|=|(1,0,1)-(X,0,1)|=|1-X|
|BQ|=|B-Q|=|(1,0,1)-(1,0,X)|=|1-X|=|BP|
∴
|BQ|=|BP|
だから
△BPQは直角2等辺3角形だから
∠BPQ=∠BQP=45°

|CR|=|C-R|=|(1,1,0)-(1,X,0)|=|1-X|
|CS|=|C-S|=|(1,1,0)-(X,1,0)|=|1-X|=|CR|
|CS|=|CR|
だから
△CRSは直角2等辺3角形だから
∠CRS=∠CSR=45°

|DT|=|D-T|=|(0,1,1)-(0,1,X)|=|1-X|
|DU|=|D-U|=|(0,1,1)-(0,X,1)|=|1-X|=|DT|
|DU|=|DT|
だから
△DTUは直角2等辺3角形だから
∠DTU=∠DUT=45°

お礼

ベクトルを使った解説ありがとうございます。問題は高校入試の問題でしたが、別解として参考にします。

回答No.3

f272

平面BCDと平面APQRSTは平行で，それらに平面ABCDが交わっているのだから，その交線であるPUとBDは平行です。
また平面ABCDと平面RCSは平行で，それらに平面APQRSTが交わっているのだから，その交線であるPUとRSは平行です。
つまりPU∥BD∥RSです。
同様にPQ∥DC∥TSやQR∥BC∥UTもわかります。
これで∠BPQ(∠BQP)=∠CRS(∠CSR)=∠DTU(∠DUT)=45°が証明できるでしょう。

お礼

平面が平行や交わるという条件を使った解説、中学の範囲の知識を使っていただきありがとうございます。

補足

よろしかったらお返事ください。
平面APQRSTは平面PQRSTU,平面ABCDは平面ABDではないんですか？
BD∥RSでもB,D,R,Sが同一平面上にないので、同位角や錯角が等しいとは言えない気がします。なにか平行な平面に平面が交わるときの角度の関する定理があれば教えてください。

回答No.2

noname#232123

AP=x, (0<x<1) とします。このとき、六角形PQRSTUについて、
PQ=RS=TU=√2*(1-x), QR=ST=UR=√2*x. となりさらに、
RU//QT//RS, です。
よって面積Ｓは、
S=(台形PQTU)+(台形RSTQ)
=(1/2)*√(3/2)*(1-x)*{√2*x+√2} + (1/2)*√(3/2)*x*{√2+√2*(1-x)}
=(√3/2)*(1+2x-2x^2).
となります。
ーーーーーーーーーーーーー
※ ２直線PU, RSの距離は√(3/2),
QT=√2. です。

お礼

面積の計算ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞∠BPQ=∠BQP=45°
＞∠BQPは何度かわかりません。
結局∠BQPは45だと思っているのかわからないのか、どっちなんですか？

お礼

ご指摘ありがとうございます。

補足

分かりづらい文章ですいません。∠BQPはわかりません。