立体の断面積の求め方

質問

一辺の長さが2センチの立方体があります。（サイコロを机に置いた様子を考えてください）手前左上の頂点をAとし、反時計まわりに頂点をB,C,Dとします。Aの下の頂点をEとし、反時計まわりに頂点をF,G,Hとします。CDの中点をMとし、3点A,F,Mを通る平面でこの立方体を切るときの切り口の面積を求めたいのですが、数学の得意な方教えていただけないでしょうか。お願いいたします。

回答No.4

banakona · ベストアンサー

断面はＡＦＭと、もう一つＣＧ上の点を通る四角形ですね。
まずはＡＦＭを通る平面の方程式を求めます。
Ｅを原点とし、Ａ（０，０，２）　Ｆ（２，０，０）　Ｍ（１，２，２）とします。

ベクトルを→で表すと、→ＡＦ＝（２，０，－２）　　→ＡＭ＝（１，２，０）
外積は→ＡＦ×→ＡＭ＝（４、－２、４）//（２，－１，２）
これが平面の法線で、これがＡ（ＦでもＭでもいいんだけど）を通るので、平面の方程式は　　２ｘ－ｙ＋２（ｚ－２）＝０　・・・＊

辺ＣＧはｘ＝２、ｙ＝２なのでこれを＊に代入すると
　２・２－２＋２（ｚ－２）＝０　　∴ｚ＝１
つまり求める平面はＣＧの中点（２，２，１）を通ることが分かります（これをＮとします）。

あとは、三平方の定理でＡＦ、ＦＭ，ＭＡ，ＮＦ，ＮＭの長さを求めて、ヘロンの公式などを使って△ＡＦＭと△ＭＦＮの面積を求めて、両者を加えるだけです。「だけ」と言う割には面倒なので省略。

お礼

断面は四角形になるのですね！目から鱗です。ＡＭＦの三角形の面積を計算しようとして挫折していました。三辺は2√2、√5、3センチになり三角形の高さの計算で混乱していました。台形でやり直してみます。ありがとうございます。

回答No.5

info22

#3です。
失礼しました。A#3を以下のように訂正します。
#4さんが言われるように断面積は三角形ではなく台形AFNMですね。
NはCGの中点です。

なのでA#3で示した方法で計算した
△AFMに△FMNの面積を加えてやる必要があります。

△FMNの面積も同様に出せますね。つまり、
すでにA#3で示したFMの求め方と
2辺FN、MNもそれぞれ直角三角形△FGNと△CMNに三平方の定理を適用してやれば、求まりますから、3辺が分かりますので、ヘロンの公式を使って
面積が求められます。

A#3の△AFMに
△FMNの面積を加えて台形AFNMの面積とするように
修正して下さい。
おさわがせしました。

お礼

断面は下辺2√2センチ、上底√2センチ、高さが3√2/2の等脚台形になるのですね。わかりました。断面積は9/2平方センチとなるようです。

回答No.3

info22

質問する場合は自分でやった解答を書いて、行き詰った所について質問するようにして下さい。そうでないと問題の丸投げといってこのサイトの禁止事項（削除対象）になってしまいます。以降気をつけて下さい。
自分で解答を作るつもりで補足に自力解答を書いて質問をして下さい。

ヒントだけ

切口は三角形になることはお分かりですね。
その三角形は△AFMです。
この三角形の各辺AF,AMは、それぞれ直角三角形
ΔABF,ΔADMに対して
三平方の定理（ピタゴラスの定理）の公式を使って
三角形斜辺として求められますね。
参考）三平方の定理と公式
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page182.html

また、FMは立方体をAB、CD、EF、GHの各中点を通る平面で合同な2つの直方体に2等分した時の対角線になりますので
FM^2=CM^2+BC^2+BF^2
の公式から求めてやれば良いですね。
（この式は三平方の公式を2度使えば導ける公式であることは言うまでもありません。）
参考）直方体の対角線の求め方
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page187.html

以上から、△AFMの3辺が求められますので、三角形の三辺が分かっている時にはヘロンの公式で面積を求めてやればいいですね。
参考）ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

お礼

回答ありがとうございます。
質問の仕方が適切でなかったようでご指摘ありがとうございました。

回答No.2

bkbkb

あ、斜めになるので明白ではないですね（笑）

AFの真ん中にGとでも置いてみてください。
そこからGとMに線を引いてみましょう。
まぁ高さですけどね。
AFがわかるのでAGはわかりますよね。
AMもわかりますよね。
ってことは三平方の定理でGMもわかりませんか？

回答No.1

bkbkb

とりあえずヒントだけで
あと、記号を勘違いしてたらごめんなさい。

AFMということは三角形です。三角形の面積は底辺×高さ÷２ですよね。
AFの長さはわかりますか？
ABEFの面を見て（正方形ですよね）、線を引いてみてください。
正方形の対角に線を引くことになると思います。
AFBかAFEかどっちでも良いですが、その三角形から考えればAFの長さがわかりますよね。
とりあえずこのAFを底辺として考えてみますか。
次に高さですね。
MはCDの中点ですよね。
CDはAFから見たら反対の面にある線ですよね。
ということは、高さは明白じゃないですか？

正方形を描いて線を引いていくとわかりやすいですよ。